次の極限を計算します。 $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 3x + 2}$

1. 問題の内容

次の極限を計算します。

$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 3x + 2}$

2. 解き方の手順

まず、分子と分母を因数分解します。

分子は、3乗の差の公式 $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ を用いて、

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$ となります。

分母は、

$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$ となります。

したがって、

$\frac{x^3 - 1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x - 2)}$ となります。

$x \neq 1$ のとき、$x - 1 \neq 0$ であるので、

$\frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{x^2 + x + 1}{x - 2}$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 3x + 2} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x + 1}{x - 2}$ となります。

$x = 1$ を代入すると、

$\frac{1^2 + 1 + 1}{1 - 2} = \frac{3}{-1} = -3$ となります。

3. 最終的な答え

-3