直線 $l: 3x - 2y - 6 = 0$ に関して点 $A(-1, 2)$ と対称な点 $B$ の座標を求める。

1. 問題の内容

直線 $l: 3x - 2y - 6 = 0$ に関して点 $A(-1, 2)$ と対称な点 $B$ の座標を求める。

2. 解き方の手順

点 $B$ の座標を $(x, y)$ とおく。

(1) 線分 $AB$ の中点 $M$ は直線 $l$ 上にある。

$M$ の座標は $(\frac{x-1}{2}, \frac{y+2}{2})$ であり、これが直線 $l$ 上にあるので、

$$3(\frac{x-1}{2}) - 2(\frac{y+2}{2}) - 6 = 0$$

$$3(x-1) - 2(y+2) - 12 = 0$$

$$3x - 3 - 2y - 4 - 12 = 0$$

$$3x - 2y - 19 = 0 \qquad (1)$$

(2) 直線 $AB$ は直線 $l$ と垂直である。

直線 $l$ の傾きは $\frac{3}{2}$ である。直線 $AB$ の傾きは $\frac{y-2}{x+1}$ である。

2直線が垂直である条件は、傾きの積が $-1$ であることなので、

$$\frac{y-2}{x+1} \cdot \frac{3}{2} = -1$$

$$3(y-2) = -2(x+1)$$

$$3y - 6 = -2x - 2$$

$$2x + 3y - 4 = 0 \qquad (2)$$

(1), (2) の連立方程式を解く。

(1) より $2y = 3x - 19$ なので、$y = \frac{3}{2}x - \frac{19}{2}$ を (2) に代入する。

$$2x + 3(\frac{3}{2}x - \frac{19}{2}) - 4 = 0$$

$$4x + 9x - 57 - 8 = 0$$

$$13x = 65$$

$$x = 5$$

$y = \frac{3}{2}(5) - \frac{19}{2} = \frac{15 - 19}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

したがって、点 $B$ の座標は $(5, -2)$ である。

3. 最終的な答え

$(5, -2)$