自然数 $n$ に対して、「$n$ が 3 の倍数ならば、$n^2$ も 3 の倍数となる」という命題がある。この命題の逆と裏の真偽を判定し、正しい組み合わせを選択する。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、「$n$ が 3 の倍数ならば、$n^2$ も 3 の倍数となる」という命題がある。この命題の逆と裏の真偽を判定し、正しい組み合わせを選択する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた命題を $P \rightarrow Q$ の形で表すと、

$P$: $n$ は 3 の倍数

$Q$: $n^2$ は 3 の倍数

* **元の命題:** 「$n$ が 3 の倍数ならば、$n^2$ も 3 の倍数となる」

この命題は真である。なぜなら、$n = 3k$ （$k$ は整数）と表せる場合、$n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$ となり、$n^2$ も 3 の倍数となるからである。

* **逆:** 「$n^2$ が 3 の倍数ならば、$n$ も 3 の倍数となる」

この命題も真である。対偶を考えると、「$n$ が 3 の倍数でないならば、$n^2$ も 3 の倍数でない」となる。$n$ が 3 の倍数でないとき、$n=3k+1$ または $n=3k+2$ と表せる。

* $n=3k+1$ のとき、$n^2 = (3k+1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$ となり、$n^2$ は 3 の倍数ではない。

* $n=3k+2$ のとき、$n^2 = (3k+2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$ となり、$n^2$ は 3 の倍数ではない。

したがって、対偶は真であり、逆も真である。

* **裏:** 「$n$ が 3 の倍数でないならば、$n^2$ も 3 の倍数でない」

これは、逆の対偶であるから、逆が真ならば裏も真である。

したがって、逆は真であり、裏も真である。

3. 最終的な答え

逆：真、裏：真

正解は選択肢 1 です。