正の整数 $a$ に対して、ある整数 $b$ が存在して $63a - 32b = 1$ を満たすとする。$a$ はこのような性質を満たす正の整数のうちで最小のものであるとする。このとき、$ab$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

正の整数 $a$ に対して、ある整数 $b$ が存在して $63a - 32b = 1$ を満たすとする。$a$ はこのような性質を満たす正の整数のうちで最小のものであるとする。このとき、$ab$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形します。

$63a - 32b = 1$

$63a = 32b + 1$

$63a \equiv 1 \pmod{32}$

ここで、$63 \equiv -1 \pmod{32}$ なので、

$-a \equiv 1 \pmod{32}$

$a \equiv -1 \pmod{32}$

$a \equiv 31 \pmod{32}$

したがって、$a = 32k + 31$ （$k$ は整数）と表せる。$a$ は正の整数で最小であるので、$k=0$ のとき、$a = 31$。

$63(31) - 32b = 1$

$1953 - 32b = 1$

$32b = 1952$

$b = \frac{1952}{32}$

$b = 61$

よって、$a=31$, $b=61$ であるから、$ab$ の値は、

$ab = 31 \times 61 = 1891$

3. 最終的な答え

1891