任意の奇素数 $p$ に対して、トレース $a_p = 0$ をもつアーベル多様体 $A/\mathbb{Q}$ が存在するならば、それらをパラメータ化する族 $\{A_p\}$ を明示的に構成せよ。

1. 問題の内容

任意の奇素数 $p$ に対して、トレース $a_p = 0$ をもつアーベル多様体 $A/\mathbb{Q}$ が存在するならば、それらをパラメータ化する族 $\{A_p\}$ を明示的に構成せよ。

2. 解き方の手順

この問題は、与えられた条件を満たすアーベル多様体の族を具体的に構成することを求めています。

トレース $a_p=0$ という条件は、アーベル多様体のハッセ・ヴェイユL関数に深く関連します。この問題に取り組むためには、アーベル多様体の構成方法、特に虚数乗法を持つアーベル多様体や、楕円曲線などの具体的な例を考慮することが重要です。さらに、モジュラー形式との関連を利用することも有効です。

一つのアプローチとして、超特異楕円曲線を考えます。素数 $p$ が与えられたとき、$p$ を法とする超特異楕円曲線は、そのフロベニウスのトレースが0になります。このような楕円曲線は、虚数乗法を持ち、有理数体上定義されたアーベル多様体と密接な関係があります。

具体的に族を構成するには、まず、与えられた奇素数 $p$ に対して、$a_p = 0$ となるような楕円曲線 $E_p$ を考えます。例えば、$y^2 = x^3 + ax$という形の楕円曲線は、$a_p = 0$ となる可能性があります。

次に、この楕円曲線 $E_p$ から、アーベル多様体 $A_p$ を構成します。例えば、$E_p$ の自己準同型環を考えることで、$A_p$ を構成できる場合があります。

最後に、すべての奇素数 $p$ に対して、このようにして構成されたアーベル多様体 $A_p$ を集めて、族 $\{A_p\}$ とします。

3. 最終的な答え

具体的な構成は、個々の $p$ に依存し、一般の族を閉じた形で表現することは難しいですが、上記の手順に従って構成された $\{A_p\}$ が求める族の一例となります。