6で割ると3余り、17で割ると5余る3桁の自然数の中で、最大のものを求める。

1. 問題の内容

6で割ると3余り、17で割ると5余る3桁の自然数の中で、最大のものを求める。

2. 解き方の手順

求める自然数を $n$ とすると、問題文より、

$n \equiv 3 \pmod{6}$

$n \equiv 5 \pmod{17}$

が成り立つ。

まず、$n = 6k + 3$ （$k$は整数）と表せる。

これを $n \equiv 5 \pmod{17}$ に代入すると、

$6k + 3 \equiv 5 \pmod{17}$

$6k \equiv 2 \pmod{17}$

となる。

ここで、$6 \cdot 3 = 18 \equiv 1 \pmod{17}$ なので、$6^{-1} \equiv 3 \pmod{17}$。

両辺に3を掛けると、

$18k \equiv 6 \pmod{17}$

$k \equiv 6 \pmod{17}$

となる。

したがって、$k = 17l + 6$ （$l$は整数）と表せる。

これを $n = 6k + 3$ に代入すると、

$n = 6(17l + 6) + 3 = 102l + 36 + 3 = 102l + 39$

となる。

つまり、$n = 102l + 39$ である。

$n$ は3桁の自然数なので、$100 \le n \le 999$。

$100 \le 102l + 39 \le 999$

$61 \le 102l \le 960$

$\frac{61}{102} \le l \le \frac{960}{102}$

$0.59 \le l \le 9.41$

$l$ は整数なので、$1 \le l \le 9$。

$n$ が最大となるのは、$l$ が最大、つまり $l = 9$ のとき。

$n = 102 \cdot 9 + 39 = 918 + 39 = 957$。

3. 最終的な答え

957