(1) 193 と 135 の最大公約数を求める。 (2) 不定方程式 $193x + 135y = 1$ の整数解のうち、$x$ が最小の自然数であるものを求め、一般解を求める。さらに、$x, y$ ともに 1000 以下の整数であるような解の組の個数を求める。 (3) 不定方程式 $193x + 135y = 36$ の整数解のうち、$|x|$ が最小となるものを求める。

1. 問題の内容

(1) 193 と 135 の最大公約数を求める。

(2) 不定方程式 $193x + 135y = 1$ の整数解のうち、$x$ が最小の自然数であるものを求め、一般解を求める。さらに、$x, y$ ともに 1000 以下の整数であるような解の組の個数を求める。

(3) 不定方程式 $193x + 135y = 36$ の整数解のうち、$|x|$ が最小となるものを求める。

2. 解き方の手順

(1) 193 と 135 の最大公約数を求めるには、ユークリッドの互除法を用いる。

$193 = 135 \times 1 + 58$

$135 = 58 \times 2 + 19$

$58 = 19 \times 3 + 1$

$19 = 1 \times 19 + 0$

よって、最大公約数は 1 である。

(2) 不定方程式 $193x + 135y = 1$ の解を求める。ユークリッドの互除法を逆にたどる。

$1 = 58 - 19 \times 3$

$1 = 58 - (135 - 58 \times 2) \times 3 = 58 \times 7 - 135 \times 3$

$1 = (193 - 135 \times 1) \times 7 - 135 \times 3 = 193 \times 7 - 135 \times 10$

よって、$193 \times 7 + 135 \times (-10) = 1$ であるから、$x = 7, y = -10$ は一つの解である。

一般解は、$x = 7 + 135k, y = -10 - 193k$ ($k$ は整数) と表せる。

$x$ が最小の自然数であるのは $x = 7$ のときであり、$y = -10$ となる。

$x, y$ ともに 1000 以下の整数である条件から

$-1000 \le 7 + 135k \le 1000$

$-1000 \le -10 - 193k \le 1000$

$-1007 \le 135k \le 993$

$-5.38 \le k \le 7.35$

$-990 \le -193k \le 1010$

$-5.23 \le k \le 5.13$

$k$ は整数なので、$-5 \le k \le 5$ である。共通範囲は $-5 \le k \le 5$ なので、全部で $5 - (-5) + 1 = 11$ 個の解の組がある。

(3) 不定方程式 $193x + 135y = 36$ を満たす整数解のうち、$|x|$ が最小のものを求める。

$193x + 135y = 36 = 1 \times 36 = (193 \times 7 + 135 \times (-10)) \times 36 = 193 \times 252 + 135 \times (-360)$

よって、$x = 252, y = -360$ は一つの解である。

一般解は、$x = 252 + 135k, y = -360 - 193k$ ($k$ は整数) と表せる。

$|x| = |252 + 135k|$ が最小になる $k$ を求める。

$k = -1$ のとき $x = 252 - 135 = 117, y = -360 + 193 = -167$

$k = -2$ のとき $x = 252 - 270 = -18, y = -360 + 386 = 26$

$k = -1$ のとき $|x| = 117$

$k = -2$ のとき $|x| = 18$

$|x|$ が最小となるのは $k = -2$ のときで、$x = -18, y = 26$ である。

3. 最終的な答え

(1) ア：1

(2) イ：7, ウエオ：-10, カキク：135, ケコサ：193, シス：11

(3) センタ：-18, チツ：26