円 $x^2 + y^2 = 2$ と直線 $y = 2x + 1$ の共有点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 2$ と直線 $y = 2x + 1$ の共有点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

共有点の座標は、円の方程式と直線の方程式を連立させて解くことで求められます。

まず、直線の方程式 $y = 2x + 1$ を円の方程式 $x^2 + y^2 = 2$ に代入します。

すると、$x^2 + (2x + 1)^2 = 2$ となります。

これを展開して整理すると、

$x^2 + 4x^2 + 4x + 1 = 2$

$5x^2 + 4x - 1 = 0$

となります。

この2次方程式を解きます。因数分解すると、

$(5x - 1)(x + 1) = 0$

よって、$x = \frac{1}{5}$ または $x = -1$ となります。

次に、それぞれの$x$の値に対応する$y$の値を求めます。

$x = \frac{1}{5}$ のとき、$y = 2(\frac{1}{5}) + 1 = \frac{2}{5} + 1 = \frac{7}{5}$

$x = -1$ のとき、$y = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1$

したがって、共有点の座標は$(\frac{1}{5}, \frac{7}{5})$と$(-1, -1)$となります。

3. 最終的な答え

$(\frac{1}{5}, \frac{7}{5}), (-1, -1)$