底面の半径が $r$ cm、高さが $h$ cm の円錐 A と、底面の半径が $2r$ cm、高さが $\frac{1}{2}h$ cm の円錐 B があります。 (1) 円錐 B の底面積を求めなさい。 (2) 円錐 B の底面積は、円錐 A の底面積の何倍ですか。 (3) 円錐 A の体積と円錐 B の体積を求め、体積について最も簡単な整数の比で表しなさい。 (4) 円錐 B の母線の長さを $l$ cm としたとき、円錐 B の側面積 $S$ を表しなさい。 (5) (4) で作った等式を $l$ について解きなさい。

1. 問題の内容

底面の半径が $r$ cm、高さが $h$ cm の円錐 A と、底面の半径が $2r$ cm、高さが $\frac{1}{2}h$ cm の円錐 B があります。

(1) 円錐 B の底面積を求めなさい。

(2) 円錐 B の底面積は、円錐 A の底面積の何倍ですか。

(3) 円錐 A の体積と円錐 B の体積を求め、体積について最も簡単な整数の比で表しなさい。

(4) 円錐 B の母線の長さを $l$ cm としたとき、円錐 B の側面積 $S$ を表しなさい。

(5) (4) で作った等式を $l$ について解きなさい。

2. 解き方の手順

(1) 円錐 B の底面積は、半径が $2r$ cm の円の面積なので、

$$(2r)^2 \pi = 4r^2\pi$$

(2) 円錐 A の底面積は $r^2\pi$ です。

円錐 B の底面積 $4r^2\pi$ は、円錐 A の底面積 $r^2\pi$ の何倍かを知るには、$4r^2\pi$ を $r^2\pi$ で割ればよいです。

$$\frac{4r^2\pi}{r^2\pi} = 4$$

よって、円錐 B の底面積は円錐 A の底面積の 4 倍です。

(3) 円錐 A の体積は、

$$\frac{1}{3} \times r^2\pi \times h = \frac{1}{3}r^2h\pi$$

円錐 B の体積は、

$$\frac{1}{3} \times (2r)^2\pi \times \frac{1}{2}h = \frac{1}{3} \times 4r^2\pi \times \frac{1}{2}h = \frac{2}{3}r^2h\pi$$

体積の比は、

$$\frac{1}{3}r^2h\pi : \frac{2}{3}r^2h\pi = 1:2$$

(4) 円錐 B の側面積 $S$ は、半径が $2r$ cm, 母線の長さが $l$ cm なので、

$$S = \pi \times (2r) \times l = 2\pi rl$$

(5) (4) の結果から、$S = 2\pi rl$

$l$ について解くと、

$$l = \frac{S}{2\pi r}$$

3. 最終的な答え

(1) $4\pi r^2$ cm$^2$

(2) 4 倍

(3) A:B = 1:2

(4) $S = 2\pi rl$

(5) $l = \frac{S}{2\pi r}$