平行四辺形ABCDにおいて、辺AB上に点E, 辺AD上に点Fがあり、$AE:EB = 2:1$, $AF:FD = 1:1$である。直線BCとDEの交点をGとし、DGとCFの交点をHとする。このとき、FH:HCとDH:HEを求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺AB上に点E, 辺AD上に点Fがあり、$AE:EB = 2:1$, $AF:FD = 1:1$である。直線BCとDEの交点をGとし、DGとCFの交点をHとする。このとき、FH:HCとDH:HEを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) FH:HCを求める。

まず、$\vec{AB}=\vec{b}$, $\vec{AD}=\vec{d}$とおく。

$\vec{AF} = \frac{1}{2} \vec{d}$

$\vec{AE} = \frac{2}{3} \vec{b}$

$\vec{AG} = \vec{AB} + k \vec{BC} = \vec{b} + k \vec{d}$ (kは実数)

また、$\vec{AG} = l \vec{AE} + (1-l) \vec{AD} = \frac{2}{3}l \vec{b} + (1-l) \vec{d}$ (lは実数)

$\vec{AG} = m \vec{AD} + (1-m) \vec{AE} = \frac{2}{3}(1-m) \vec{b} + m \vec{d}$ (mは実数)

DEは$\vec{DE} = \vec{AE} - \vec{AD} = \frac{2}{3} \vec{b} - \vec{d}$だから

$\vec{AG} = \vec{AD} + n\vec{DE} = \vec{d} + n (\frac{2}{3} \vec{b} - \vec{d}) = \frac{2}{3}n \vec{b} + (1-n) \vec{d}$

$\vec{b}$と$\vec{d}$は一次独立なので、$\vec{b}$と$\vec{d}$の係数を比較して

$\frac{2}{3}n = 1$

$1-n = k$

$n=\frac{3}{2}$

$k = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$

よって、$\vec{AG} = \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{d}$

$\vec{CG} = \vec{AG} - \vec{AC} = \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{d} - (\vec{b}+\vec{d}) = -\frac{3}{2} \vec{d}$

$\vec{CF} = \vec{AF} - \vec{AC} = \frac{1}{2} \vec{d} - \vec{b} - \vec{d} = -\vec{b} - \frac{1}{2} \vec{d}$

$\vec{CH} = s \vec{CF} = s(-\vec{b} - \frac{1}{2} \vec{d})$

$\vec{DH} = t \vec{DG} = t (\vec{AG} - \vec{AD}) = t (\vec{b} - \frac{1}{2} \vec{d} - \vec{d}) = t (\vec{b} - \frac{3}{2} \vec{d})$

$\vec{CH} = \vec{CD} + \vec{DH} = \vec{b} + t(\vec{b} - \frac{3}{2} \vec{d}) = (1+t) \vec{b} - \frac{3}{2}t \vec{d}$

$s(-\vec{b} - \frac{1}{2} \vec{d}) = (1+t) \vec{b} - \frac{3}{2}t \vec{d}$

$-s = 1+t$

$-\frac{1}{2}s = -\frac{3}{2}t$

$s = 3t$

$-3t = 1+t$

$-4t = 1$

$t=-\frac{1}{4}$

$s = 3t = -\frac{3}{4}$

$\vec{CH} = -\frac{3}{4} \vec{CF}$

$CH = \frac{3}{4} CF$

$FH = CF - CH = CF - \frac{3}{4} CF = \frac{1}{4} CF$

$FH : HC = \frac{1}{4} CF : \frac{3}{4} CF = 1:3$

(2) DH:HEを求める。

$\vec{DH} = t(\vec{b}-\frac{3}{2} \vec{d}) = -\frac{1}{4} \vec{DG}$

$\vec{DE} = \frac{2}{3}\vec{b} - \vec{d}$

$\vec{HE} = \vec{DE}-\vec{DH} = \frac{2}{3}\vec{b} - \vec{d} - (-\frac{1}{4} \vec{DG}) = \frac{2}{3}\vec{b} - \vec{d} + \frac{1}{4}(\frac{2}{3}\vec{b} - \frac{3}{2}\vec{d})$

$\vec{HE} = \frac{2}{3}\vec{b} - \vec{d} + \frac{1}{6}\vec{b} - \frac{3}{8}\vec{d} = (\frac{4}{6}+\frac{1}{6})\vec{b} + (-1-\frac{3}{8})\vec{d} = \frac{5}{6}\vec{b} - \frac{11}{8}\vec{d}$

$DH:HE = |-\frac{1}{4}\vec{DG}| : |\vec{HE}|$.

$\vec{DH} = -\frac{1}{4} \vec{DG}$

$\vec{DG} = \vec{AG} - \vec{AD} = (\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{d}) - \vec{d} = \vec{b} - \frac{3}{2} \vec{d}$

$\vec{DE} = \frac{2}{3} \vec{b} - \vec{d}$

DH:HE

$\vec{DH} = u \vec{DE}$

$\vec{CD} + \vec{DH} = \vec{CE}$

$\vec{DE} = \frac{2}{3}\vec{b} - \vec{d}$より

$\vec{DH} = - \frac{1}{4}\vec{DG} = - \frac{1}{4}(\vec{b} - \frac{3}{2} \vec{d}) = - \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{3}{8}\vec{d}$

$\vec{HE} = \vec{DE} - \vec{DH} = (\frac{2}{3}\vec{b} - \vec{d}) - (- \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{3}{8}\vec{d}) = \frac{2}{3}\vec{b} - \vec{d} + \frac{1}{4}\vec{b} - \frac{3}{8}\vec{d} = (\frac{8}{12}+\frac{3}{12})\vec{b} + (-\frac{8}{8}-\frac{3}{8})\vec{d} = \frac{11}{12}\vec{b} - \frac{11}{8}\vec{d}$

$\vec{HE} = \frac{11}{12} (\vec{b} - \frac{3}{2} \vec{d}) = \frac{11}{12} \vec{DG}$

$DH = \frac{1}{4}DG$

$HE = \frac{11}{12}DG$

$DH:HE = \frac{1}{4}DG : \frac{11}{12}DG = \frac{1}{4}:\frac{11}{12} = 3:11$

3. 最終的な答え

(1) FH:HC = 1:3

(2) DH:HE = 3:11