三角形ABCにおいて、$AB = 3$, $AC = 2$, $\angle A = 60^\circ$とする。$\triangle ABC$ の外心をOとし、$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AC} = \vec{c}$ とするとき、$\overrightarrow{AO}$ を $\vec{b}$と$\vec{c}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 3$, $AC = 2$, $\angle A = 60^\circ$とする。$\triangle ABC$ の外心をOとし、$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AC} = \vec{c}$ とするとき、$\overrightarrow{AO}$ を $\vec{b}$と$\vec{c}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

$\overrightarrow{AO} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$ とおく。すなわち、$\overrightarrow{AO} = s\vec{b} + t\vec{c}$とおく。

Oは外心であるから、$|\overrightarrow{AO}| = |\overrightarrow{BO}| = |\overrightarrow{CO}|$

$|\overrightarrow{AO}|^2 = |\overrightarrow{BO}|^2$より、

$|\overrightarrow{AO}|^2 = | \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{AB} |^2$

$|\overrightarrow{AO}|^2 = |\overrightarrow{AO}|^2 - 2 \overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AB} + |\overrightarrow{AB}|^2$

$0 = -2 \overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AB} + |\overrightarrow{AB}|^2$

$2 \overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{AB}|^2$

$2 (s\vec{b} + t\vec{c}) \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$

$2 (s|\vec{b}|^2 + t \vec{b} \cdot \vec{c}) = |\vec{b}|^2$

$2(9s + t|\vec{b}||\vec{c}| \cos{60^\circ}) = 9$

$2(9s + t \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}) = 9$

$2(9s + 3t) = 9$

$18s + 6t = 9$

$6s + 2t = 3/2$

$6s + 2t = 3/2$ … (1)

$|\overrightarrow{AO}|^2 = |\overrightarrow{CO}|^2$より、

$|\overrightarrow{AO}|^2 = | \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{AC} |^2$

$|\overrightarrow{AO}|^2 = |\overrightarrow{AO}|^2 - 2 \overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AC} + |\overrightarrow{AC}|^2$

$0 = -2 \overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AC} + |\overrightarrow{AC}|^2$

$2 \overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AC}|^2$

$2 (s\vec{b} + t\vec{c}) \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^2$

$2 (s\vec{b} \cdot \vec{c} + t |\vec{c}|^2) = |\vec{c}|^2$

$2 (s|\vec{b}||\vec{c}| \cos{60^\circ} + 4t) = 4$

$2(s \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} + 4t) = 4$

$2(3s + 4t) = 4$

$6s + 8t = 4$

$3s + 4t = 2$ … (2)

(2) - (1) より

$2t = 2 - 3/2 = 1/2$

$t = 1/4$

(2)に代入して

$3s + 4(1/4) = 2$

$3s + 1 = 2$

$3s = 1$

$s = 1/3$

したがって、

$\overrightarrow{AO} = \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AO} = \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}$