三角形ABCと点Pに対して、ベクトルに関する等式 $5\vec{AP} + 4\vec{BP} + 3\vec{CP} = \vec{0}$ が成り立つとき、以下の問いに答える。 (1) 点Pの位置を説明する。 (2) 三角形PBC、三角形PCA、三角形PABの面積比を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCと点Pに対して、ベクトルに関する等式 $5\vec{AP} + 4\vec{BP} + 3\vec{CP} = \vec{0}$ が成り立つとき、以下の問いに答える。

(1) 点Pの位置を説明する。

(2) 三角形PBC、三角形PCA、三角形PABの面積比を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Pの位置について

$\vec{AP}$ を基準にして、$\vec{BP}$ と $\vec{CP}$ を $\vec{AP}$ で表す。

$\vec{BP} = \vec{AP} - \vec{AB}$

$\vec{CP} = \vec{AP} - \vec{AC}$

与えられた式に代入すると、

$5\vec{AP} + 4(\vec{AP} - \vec{AB}) + 3(\vec{AP} - \vec{AC}) = \vec{0}$

整理すると、

$12\vec{AP} = 4\vec{AB} + 3\vec{AC}$

$\vec{AP} = \frac{4\vec{AB} + 3\vec{AC}}{12} = \frac{4\vec{AB} + 3\vec{AC}}{4+3} \cdot \frac{7}{12} = \frac{7}{12}\left(\frac{4\vec{AB} + 3\vec{AC}}{7}\right)$

ここで、線分BCを3:4に内分する点をDとすると、

$\vec{AD} = \frac{4\vec{AB} + 3\vec{AC}}{7}$

となるから、$\vec{AP} = \frac{7}{12}\vec{AD}$となる。

したがって、点Pは線分ADを7:5に内分する点である。

(2) 面積比について

$5\vec{AP} + 4\vec{BP} + 3\vec{CP} = \vec{0}$ より、$5\vec{AP} + 4\vec{BP} + 3\vec{CP} = \vec{0}$を満たす点Pは三角形ABCの内部にある。

この式を書き換えると、$5\vec{AP} = -4\vec{BP} - 3\vec{CP}$。両辺に$\vec{PA}$を足すと、$5\vec{AP} = 4\vec{PA} + 3\vec{PA}$となる。さらに$5\vec{PA} + 4\vec{PB} + 3\vec{PC} = \vec{0}$。

したがって、$\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = 5:4:3$

3. 最終的な答え

(1) 点Pは線分BCを3:4に内分する点をDとすると、線分ADを7:5に内分する点である。

(2) $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = 4:3:5$