$\triangle ABC$ において、$AB = 3$, $AC = 2$, $\angle A = 60^\circ$ であり、外心を $O$ とする。$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$ とするとき、$\overrightarrow{AO}$ を $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ を用いて表す。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$AB = 3$, $AC = 2$, $\angle A = 60^\circ$ であり、外心を $O$ とする。$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$ とするとき、$\overrightarrow{AO}$ を $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

外心 $O$ は、各辺の垂直二等分線の交点である。$\overrightarrow{AO} = s\overrightarrow{b} + t\overrightarrow{c}$ と表すことができる。$M$, $N$ をそれぞれ辺 $AB$, $AC$ の中点とすると、$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{AN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{c}$ である。$OM \perp AB$ より $\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$、$ON \perp AC$ より $\overrightarrow{ON} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$ である。

$\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{b} - (s\overrightarrow{b} + t\overrightarrow{c}) = (\frac{1}{2} - s)\overrightarrow{b} - t\overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AB} = ((\frac{1}{2} - s)\overrightarrow{b} - t\overrightarrow{c}) \cdot \overrightarrow{b} = (\frac{1}{2} - s)|\overrightarrow{b}|^2 - t\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 0$

$\overrightarrow{ON} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{c} - (s\overrightarrow{b} + t\overrightarrow{c}) = -s\overrightarrow{b} + (\frac{1}{2} - t)\overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{ON} \cdot \overrightarrow{AC} = (-s\overrightarrow{b} + (\frac{1}{2} - t)\overrightarrow{c}) \cdot \overrightarrow{c} = -s\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} + (\frac{1}{2} - t)|\overrightarrow{c}|^2 = 0$

$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = |\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|\cos A = 3 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 3$

$|\overrightarrow{b}|^2 = 3^2 = 9$

$|\overrightarrow{c}|^2 = 2^2 = 4$

$(\frac{1}{2} - s) \cdot 9 - t \cdot 3 = 0$ より $9(\frac{1}{2} - s) - 3t = 0$。つまり $\frac{9}{2} - 9s - 3t = 0$。$9s + 3t = \frac{9}{2}$。$18s + 6t = 9$。

$-s \cdot 3 + (\frac{1}{2} - t) \cdot 4 = 0$ より $-3s + 4(\frac{1}{2} - t) = 0$。つまり $-3s + 2 - 4t = 0$。$3s + 4t = 2$。$18s + 24t = 12$。

$18s + 24t - (18s + 6t) = 12 - 9 = 3$。$18t = 3$。$t = \frac{1}{6}$

$3s + 4(\frac{1}{6}) = 2$。$3s = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$。$s = \frac{4}{9}$

$\overrightarrow{AO} = \frac{4}{9}\overrightarrow{b} + \frac{1}{6}\overrightarrow{c}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AO} = \frac{4}{9}\overrightarrow{b} + \frac{1}{6}\overrightarrow{c}$