与えられた条件を満たす円の方程式、または直線の方程式を求める問題です。それぞれの場合について、ベクトルを利用して解きます。 (1) 中心(0, 0), 半径2の円の方程式 (2) 中心(3, 2), 半径$\sqrt{5}$の円の方程式 (3) 2点A(1, 4), B(3, 0)を直径の両端とする円の方程式 (4) 中心(1, 1), 半径$\sqrt{2}$の円に、点O(0, 0)で接する直線の方程式

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす円の方程式、または直線の方程式を求める問題です。それぞれの場合について、ベクトルを利用して解きます。

(1) 中心(0, 0), 半径2の円の方程式

(2) 中心(3, 2), 半径$\sqrt{5}$の円の方程式

(3) 2点A(1, 4), B(3, 0)を直径の両端とする円の方程式

(4) 中心(1, 1), 半径$\sqrt{2}$の円に、点O(0, 0)で接する直線の方程式

2. 解き方の手順

(1) 中心O(0, 0), 半径2の円

円上の点をP($x$, $y$)とすると、$\overrightarrow{OP} = (x, y)$。

$|\overrightarrow{OP}| = 2$

$|\overrightarrow{OP}|^2 = 4$

$x^2 + y^2 = 4$

(2) 中心C(3, 2), 半径$\sqrt{5}$の円

円上の点をP($x$, $y$)とすると、$\overrightarrow{CP} = (x-3, y-2)$。

$|\overrightarrow{CP}| = \sqrt{5}$

$|\overrightarrow{CP}|^2 = 5$

$(x-3)^2 + (y-2)^2 = 5$

$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 4y + 4 = 5$

$x^2 + y^2 - 6x - 4y + 8 = 0$

(3) 2点A(1, 4), B(3, 0)を直径の両端とする円

円上の点をP($x$, $y$)とすると、$\overrightarrow{AP} = (x-1, y-4)$, $\overrightarrow{BP} = (x-3, y-0)$。

$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} = 0$

$(x-1)(x-3) + (y-4)(y-0) = 0$

$x^2 - 4x + 3 + y^2 - 4y = 0$

$x^2 + y^2 - 4x - 4y + 3 = 0$

(4) 中心C(1, 1), 半径$\sqrt{2}$の円に、点O(0, 0)で接する直線

直線は、$\overrightarrow{CO}$に垂直である。

$\overrightarrow{CO} = (0-1, 0-1) = (-1, -1)$

法線ベクトルは(-1, -1)なので、方向ベクトルは(1, -1)など。

直線の方程式は$-1(x-0) -1(y-0) = 0$と表せる。

$-x-y = 0$

$x + y = 0$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 = 4$

(2) $x^2 + y^2 - 6x - 4y + 8 = 0$

(3) $x^2 + y^2 - 4x - 4y + 3 = 0$

(4) $x + y = 0$