座標平面上の3点 A(1, 0), B(14, 0), C(5, 3) を頂点とする三角形 ABC について、以下の座標を求めます。 (1) 三角形 ABC の重心 (2) 三角形 ABC の外心

1. 問題の内容

座標平面上の3点 A(1, 0), B(14, 0), C(5, 3) を頂点とする三角形 ABC について、以下の座標を求めます。

(1) 三角形 ABC の重心

(2) 三角形 ABC の外心

2. 解き方の手順

(1) 三角形 ABC の重心の座標は、各頂点の座標の平均として求められます。

重心の x 座標は $(1 + 14 + 5) / 3$ で、重心の y 座標は $(0 + 0 + 3) / 3$ です。

(2) 三角形 ABC の外心は、三角形の各頂点から等距離にある点です。外心の座標を (x, y) とすると、次の式が成り立ちます。

$(x - 1)^2 + (y - 0)^2 = (x - 14)^2 + (y - 0)^2 = (x - 5)^2 + (y - 3)^2$

最初の2つの式から $(x - 1)^2 = (x - 14)^2$ が得られます。

$x^2 - 2x + 1 = x^2 - 28x + 196$

$26x = 195$

$x = 195 / 26 = 15 / 2 = 7.5$

次に、$(x - 1)^2 + y^2 = (x - 5)^2 + (y - 3)^2$ に $x = 7.5$ を代入します。

$(7.5 - 1)^2 + y^2 = (7.5 - 5)^2 + (y - 3)^2$

$(6.5)^2 + y^2 = (2.5)^2 + y^2 - 6y + 9$

$42.25 = 6.25 + y^2 - 6y + 9$

$42.25 = 15.25 - 6y + y^2$

$6y = 15.25 + 9 - 42.25 = -18$

$y = -3$

したがって、外心の座標は (7.5, -3) です。

3. 最終的な答え

(1) 三角形 ABC の重心の座標は $((1 + 14 + 5) / 3, (0 + 0 + 3) / 3) = (20 / 3, 1)$ です。

(2) 三角形 ABC の外心の座標は (7.5, -3) です。