円と直線の共有点の座標を求める問題です。 (1) 円 $x^2 + y^2 = 25$ と直線 $y = x+1$ の共有点の座標を求めます。 (2) 円 $x^2 + y^2 = 8$ と直線 $x+y=4$ の共有点の座標を求めます。

1. 問題の内容

円と直線の共有点の座標を求める問題です。

(1) 円 $x^2 + y^2 = 25$ と直線 $y = x+1$ の共有点の座標を求めます。

(2) 円 $x^2 + y^2 = 8$ と直線 $x+y=4$ の共有点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

円 $x^2 + y^2 = 25$ と直線 $y = x+1$ の連立方程式を解きます。

$y = x+1$ を $x^2 + y^2 = 25$ に代入すると、

$x^2 + (x+1)^2 = 25$

$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25$

$2x^2 + 2x - 24 = 0$

$x^2 + x - 12 = 0$

$(x+4)(x-3) = 0$

よって、$x = -4, 3$。

$x=-4$ のとき、$y = x+1 = -4+1 = -3$。

$x=3$ のとき、$y = x+1 = 3+1 = 4$。

したがって、共有点の座標は $(-4, -3)$ と $(3, 4)$ です。

(2)

円 $x^2 + y^2 = 8$ と直線 $x+y=4$ の連立方程式を解きます。

$x+y=4$ より、$y = 4-x$。

これを $x^2 + y^2 = 8$ に代入すると、

$x^2 + (4-x)^2 = 8$

$x^2 + 16 - 8x + x^2 = 8$

$2x^2 - 8x + 8 = 0$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x-2)^2 = 0$

よって、$x = 2$。

$x=2$ のとき、$y = 4-x = 4-2 = 2$。

したがって、共有点の座標は $(2, 2)$ です。

3. 最終的な答え

(1) $(-4, -3)$, $(3, 4)$

(2) $(2, 2)$