四面体ABCDにおいて、$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$, $\vec{AD} = \vec{d}$とする。辺BCの中点をM、辺CDを3:1に内分する点をN、三角形ABCの重心をGとするとき、次のベクトルを$\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$で表せ。 (1) $\vec{MN}$ (2) $\vec{GN}$

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$, $\vec{AD} = \vec{d}$とする。辺BCの中点をM、辺CDを3:1に内分する点をN、三角形ABCの重心をGとするとき、次のベクトルを$\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$で表せ。

(1) $\vec{MN}$

(2) $\vec{GN}$

2. 解き方の手順

(1) $\vec{MN}$について

まず、$\vec{AM}$と$\vec{AN}$を$\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$で表す。

Mは辺BCの中点なので、$\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) = \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$

Nは辺CDを3:1に内分する点なので、$\vec{AN} = \frac{1 \cdot \vec{AC} + 3 \cdot \vec{AD}}{3+1} = \frac{1}{4}\vec{c} + \frac{3}{4}\vec{d}$

したがって、

$\vec{MN} = \vec{AN} - \vec{AM} = (\frac{1}{4}\vec{c} + \frac{3}{4}\vec{d}) - (\frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}) = -\frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{c} + \frac{3}{4}\vec{d}$

(2) $\vec{GN}$について

まず、$\vec{AG}$を$\vec{b}, \vec{c}$で表す。Gは三角形ABCの重心なので、$\vec{AG} = \frac{\vec{AB} + \vec{AC}}{3} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{3}$

したがって、

$\vec{GN} = \vec{AN} - \vec{AG} = (\frac{1}{4}\vec{c} + \frac{3}{4}\vec{d}) - (\frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}) = -\frac{1}{3}\vec{b} - \frac{1}{12}\vec{c} + \frac{3}{4}\vec{d}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{MN} = -\frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{c} + \frac{3}{4}\vec{d}$

(2) $\vec{GN} = -\frac{1}{3}\vec{b} - \frac{1}{12}\vec{c} + \frac{3}{4}\vec{d}$