(1) 円 $x^2 + y^2 = 25$ と直線 $y = x + 1$ の共有点の座標を求めます。 (2) 円 $x^2 + y^2 = 8$ と直線 $x + y = 4$ の共有点の座標を求めます。

1. 問題の内容

(1) 円 $x^2 + y^2 = 25$ と直線 $y = x + 1$ の共有点の座標を求めます。

(2) 円 $x^2 + y^2 = 8$ と直線 $x + y = 4$ の共有点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

円 $x^2 + y^2 = 25$ と直線 $y = x + 1$ の連立方程式を解きます。

直線の式を円の式に代入します。

$x^2 + (x + 1)^2 = 25$

$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25$

$2x^2 + 2x - 24 = 0$

$x^2 + x - 12 = 0$

$(x + 4)(x - 3) = 0$

$x = -4, 3$

$x = -4$ のとき、$y = x + 1 = -4 + 1 = -3$

$x = 3$ のとき、$y = x + 1 = 3 + 1 = 4$

(2)

円 $x^2 + y^2 = 8$ と直線 $x + y = 4$ の連立方程式を解きます。

直線の方程式から $y = 4 - x$ を得て、円の式に代入します。

$x^2 + (4 - x)^2 = 8$

$x^2 + 16 - 8x + x^2 = 8$

$2x^2 - 8x + 8 = 0$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x - 2)^2 = 0$

$x = 2$

$x = 2$ のとき、$y = 4 - x = 4 - 2 = 2$

3. 最終的な答え

(1) $(-4, -3), (3, 4)$

(2) $(2, 2)$