一辺の長さが6cmの正三角形ABCを底面とする三角錐がある。3つの側面の合計面積が36cm²のとき、辺ADの長さを求める。ただし、側面の三角形はすべて同じとする。

1. 問題の内容

一辺の長さが6cmの正三角形ABCを底面とする三角錐がある。3つの側面の合計面積が36cm²のとき、辺ADの長さを求める。ただし、側面の三角形はすべて同じとする。

2. 解き方の手順

まず、正三角形ABCの面積を計算する。正三角形の面積は、一辺の長さをaとすると $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ で求められる。

$a = 6$ なので、正三角形ABCの面積は、

$\frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9\sqrt{3}$ cm²

次に、3つの側面の合計面積が36cm²であることから、1つの側面の面積を求める。3つの側面は同じ三角形なので、1つの側面の面積は $\frac{36}{3} = 12$ cm²

側面の三角形の面積は12cm²で、底辺の長さは6cmである。三角形の面積の公式は $\frac{1}{2} \times \text{底辺} \times \text{高さ}$ なので、高さをhとすると、

$\frac{1}{2} \times 6 \times h = 12$

$3h = 12$

$h = 4$

よって、ADの長さは4cmである。

3. 最終的な答え

4cm