画像に写っている数学の問題を日本語で解説し、解答を求める。特に、質問されている問題は、以下の通りです。 13. 下の図のような格子状の道がある。これらの道を通って、AからBまで最短距離で移動するとき、Pは通るがQは通らない道順は何通りあるか。(思5点)

1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題を日本語で解説し、解答を求める。特に、質問されている問題は、以下の通りです。

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3. 下の図のような格子状の道がある。これらの道を通って、AからBまで最短距離で移動するとき、Pは通るがQは通らない道順は何通りあるか。(思5点)

2. 解き方の手順

AからBまで最短距離で移動する方法は、右に$x$回、上に$y$回移動する場合、$x+y$回の移動方法があり、そのうち$x$回の移動を右に、$y$回の移動を上にすることを選ぶ組み合わせの数で表されます。今回のケースでは、右に6回、上に5回移動するので、AからBまでの最短経路は全部で $_{6+5}C_6 = _{11}C_6$ 通りあります。$_{11}C_6 = \frac{11!}{6!5!} = \frac{11\times10\times9\times8\times7}{5\times4\times3\times2\times1}=462$通りとなります。

次に、Pを通る経路の数を求めます。AからPまでの経路は、右に1回、上に2回移動するので、$_{1+2}C_1 = _3C_1 = 3$通りです。PからBまでの経路は、右に5回、上に3回移動するので、$_{5+3}C_5 = _8C_5 = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8\times7\times6}{3\times2\times1} = 56$通りです。したがって、Pを通る経路は$3 \times 56 = 168$通りとなります。

次に、Qを通る経路の数を求めます。AからQまでの経路は、右に4回、上に3回移動するので、$_{4+3}C_4 = _7C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7\times6\times5}{3\times2\times1} = 35$通りです。QからBまでの経路は、右に2回、上に2回移動するので、$_{2+2}C_2 = _4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4\times3}{2\times1} = 6$通りです。したがって、Qを通る経路は$35 \times 6 = 210$通りとなります。

次に、PもQも通る経路の数を求めます。AからPまでの経路は3通り、PからQまでの経路は右に3回、上に1回移動するので、$_{3+1}C_3 = _4C_3 = 4$通り、QからBまでの経路は6通りです。したがって、PもQも通る経路は$3 \times 4 \times 6 = 72$通りとなります。

最後に、Pを通るがQを通らない経路の数を求めます。これは、Pを通る経路の数から、PもQも通る経路の数を引けば求まります。したがって、$168 - 72 = 96$通りとなります。

3. 最終的な答え

96通り