円 $x^2 + y^2 = 2$ と直線 $y = 2x + 1$ の共有点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 2$ と直線 $y = 2x + 1$ の共有点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

円と直線の交点を求めるには、連立方程式を解きます。

まず、直線の方程式を円の方程式に代入します。

$x^2 + (2x+1)^2 = 2$

これを展開して整理します。

$x^2 + (4x^2 + 4x + 1) = 2$

$5x^2 + 4x + 1 = 2$

$5x^2 + 4x - 1 = 0$

この2次方程式を解きます。因数分解ができます。

$(5x - 1)(x + 1) = 0$

したがって、$x = \frac{1}{5}$ または $x = -1$ です。

それぞれの $x$ の値に対応する $y$ の値を求めます。

$x = \frac{1}{5}$ のとき、$y = 2(\frac{1}{5}) + 1 = \frac{2}{5} + 1 = \frac{7}{5}$

$x = -1$ のとき、$y = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1$

したがって、共有点の座標は$(\frac{1}{5}, \frac{7}{5})$ と $(-1, -1)$ です。

3. 最終的な答え

$(\frac{1}{5}, \frac{7}{5})$、 $(-1, -1)$