放物線 $y=2x^2$ 上の点Aのx座標が $a$ ($a>0$)である。点Aを通り、y軸、x軸に平行な直線をひき、放物線 $y=\frac{1}{2}x^2$ との交点をそれぞれ点B,点Dとして、長方形ABCDを作る。直線 $y=\frac{1}{3}x$ がこの長方形の面積を2等分するとき、$a$の値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y=2x^2$ 上の点Aのx座標が $a$ ($a>0$)である。点Aを通り、y軸、x軸に平行な直線をひき、放物線 $y=\frac{1}{2}x^2$ との交点をそれぞれ点B,点Dとして、長方形ABCDを作る。直線 $y=\frac{1}{3}x$ がこの長方形の面積を2等分するとき、$a$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、各点の座標を求める。

点Aの座標は $(a, 2a^2)$。

点Bの座標は $(a, \frac{1}{2}a^2)$。

点Dの座標は、点Aのy座標と同じなので、$2a^2 = \frac{1}{2}x^2$ より、$x = 2a$。したがって、点Dの座標は $(2a, 2a^2)$。

点Cの座標は、点Bのx座標と点Dのy座標より、$(2a, \frac{1}{2}a^2)$。

長方形ABCDの中心は、対角線ACの中点である。

中心の座標は $(\frac{a+2a}{2}, \frac{2a^2+\frac{1}{2}a^2}{2}) = (\frac{3}{2}a, \frac{5}{4}a^2)$。

直線 $y=\frac{1}{3}x$ が長方形の面積を二等分するということは、長方形の中心を通るということである。

したがって、$\frac{5}{4}a^2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}a$ が成り立つ。

$\frac{5}{4}a^2 = \frac{1}{2}a$

$\frac{5}{4}a^2 - \frac{1}{2}a = 0$

$a(\frac{5}{4}a - \frac{1}{2}) = 0$

$a>0$ なので、

$\frac{5}{4}a - \frac{1}{2} = 0$

$\frac{5}{4}a = \frac{1}{2}$

$a = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{5}$