$\theta$ が次の値のとき、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値を求めよ。 (1) $\frac{4}{3}\pi$ (2) $\frac{7}{4}\pi$ (3) $4\pi$ (4) $-\frac{7}{6}\pi$

1. 問題の内容

$\theta$ が次の値のとき、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値を求めよ。

(1) $\frac{4}{3}\pi$

(2) $\frac{7}{4}\pi$

(3) $4\pi$

(4) $-\frac{7}{6}\pi$

2. 解き方の手順

(1) $\theta = \frac{4}{3}\pi$ の場合:

$\frac{4}{3}\pi = \pi + \frac{\pi}{3}$ なので、$\frac{4}{3}\pi$ は第3象限の角である。

$\sin(\frac{4}{3}\pi) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(\frac{4}{3}\pi) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

$\tan(\frac{4}{3}\pi) = \frac{\sin(\frac{4}{3}\pi)}{\cos(\frac{4}{3}\pi)} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$

(2) $\theta = \frac{7}{4}\pi$ の場合:

$\frac{7}{4}\pi = 2\pi - \frac{\pi}{4}$ なので、$\frac{7}{4}\pi$ は第4象限の角である。

$\sin(\frac{7}{4}\pi) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(\frac{7}{4}\pi) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan(\frac{7}{4}\pi) = \frac{\sin(\frac{7}{4}\pi)}{\cos(\frac{7}{4}\pi)} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1$

(3) $\theta = 4\pi$ の場合:

$4\pi = 2 \times 2\pi$ なので、 $4\pi$ は $0$ と同じ位置にある。

$\sin(4\pi) = \sin(0) = 0$

$\cos(4\pi) = \cos(0) = 1$

$\tan(4\pi) = \tan(0) = 0$

(4) $\theta = -\frac{7}{6}\pi$ の場合:

$-\frac{7}{6}\pi = -\pi - \frac{\pi}{6}$ なので、$-\frac{7}{6}\pi$ は第2象限の角である。

$-\frac{7}{6}\pi = -\pi - \frac{\pi}{6}$ は、$\frac{5}{6}\pi$ と同じ角である。

$\sin(-\frac{7}{6}\pi) = \sin(\frac{5}{6}\pi) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

$\cos(-\frac{7}{6}\pi) = \cos(\frac{5}{6}\pi) = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan(-\frac{7}{6}\pi) = \tan(\frac{5}{6}\pi) = \frac{\sin(\frac{5}{6}\pi)}{\cos(\frac{5}{6}\pi)} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin(\frac{4}{3}\pi) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(\frac{4}{3}\pi) = -\frac{1}{2}$, $\tan(\frac{4}{3}\pi) = \sqrt{3}$

(2) $\sin(\frac{7}{4}\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(\frac{7}{4}\pi) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan(\frac{7}{4}\pi) = -1$

(3) $\sin(4\pi) = 0$, $\cos(4\pi) = 1$, $\tan(4\pi) = 0$

(4) $\sin(-\frac{7}{6}\pi) = \frac{1}{2}$, $\cos(-\frac{7}{6}\pi) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan(-\frac{7}{6}\pi) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$