平面上に三角形ABCと点Pがあり、$2\overrightarrow{AP} - 3\overrightarrow{BP} - 4\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0}$ を満たすとき、$\overrightarrow{AP}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を用いて表し、さらに直線APと直線BCの交点をQとしたとき、Qが線分APをどのように内分するかを求め、三角形PQCの面積が三角形ABCの面積の何倍になるかを求める問題です。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

平面上に三角形ABCと点Pがあり、$2\overrightarrow{AP} - 3\overrightarrow{BP} - 4\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0}$ を満たすとき、$\overrightarrow{AP}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を用いて表し、さらに直線APと直線BCの交点をQとしたとき、Qが線分APをどのように内分するかを求め、三角形PQCの面積が三角形ABCの面積の何倍になるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AP}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を用いて表す。

与えられた式を書き換えます。

$2\overrightarrow{AP} - 3(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}) - 4(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{0}$

$-5\overrightarrow{AP} + 3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}$

$5\overrightarrow{AP} = 3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow{AC}$

(2) 直線APと直線BCの交点Qについて、Qが線分APをどのように内分するかを求める。

点Qは直線AP上にあるので、$\overrightarrow{AQ} = k\overrightarrow{AP}$ と表せます。（kは実数）

$\overrightarrow{AQ} = k(\frac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow{AC}) = \frac{3k}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{4k}{5}\overrightarrow{AC}$

点Qは直線BC上にあるので、$\frac{3k}{5} + \frac{4k}{5} = 1$が成り立ちます。

...これは明らかに間違いです.

APとBCの交点をQとする。

$\overrightarrow{AQ} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$ とおく。 (s, tは実数)

QはBC上にあるので、$s + t = 1$

$\overrightarrow{AP} = \frac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow{AC}$ と $\overrightarrow{AQ} = k\overrightarrow{AP}$より、

$\overrightarrow{AQ} = \frac{3k}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{4k}{5}\overrightarrow{AC}$

$s = \frac{3k}{5}$, $t = \frac{4k}{5}$

$s + t = \frac{3k}{5} + \frac{4k}{5} = \frac{7k}{5} = 1$

$k = \frac{5}{7}$

よって$\overrightarrow{AQ} = \frac{5}{7}\overrightarrow{AP}$

したがって、Qは線分APを7:2に内分します。

(3) 三角形PQCの面積が三角形ABCの面積の何倍になるかを求める。

$\overrightarrow{AQ} = \frac{3}{7}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{7}\overrightarrow{AC}$

よって、$\overrightarrow{AQ} = \frac{3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC}}{7}$より、点Qは線分BCを4:3に内分する。

$\frac{S_{\triangle ABQ}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{AQ}{AC} \times \frac{4}{7}$

$\frac{S_{\triangle APQ}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{AP}{AQ} = \frac{2}{7}$

$\frac{AQ}{AB} = \frac{5}{7}$

$\frac{BQ}{BC} = \frac{4}{7}$

$\frac{CQ}{BC} = \frac{3}{7}$

$S_{\triangle ABQ} = \frac{4}{7} S_{\triangle ABC}$

$S_{\triangle ACQ} = \frac{3}{7} S_{\triangle ABC}$

$\frac{AP}{AQ} = \frac{7}{5}$ なので $\frac{PQ}{AQ} = \frac{2}{5}$

よって $\frac{S_{\triangle PQC}}{S_{\triangle AQC}} = \frac{PQ}{AQ} = \frac{2}{5}$

$S_{\triangle PQC} = \frac{2}{5} S_{\triangle AQC} = \frac{2}{5} \times \frac{3}{7} S_{\triangle ABC} = \frac{6}{35} S_{\triangle ABC}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AP} = \frac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow{AC}$

Qは線分APを7:2に内分する

三角形PQCの面積は三角形ABCの面積の$\frac{6}{35}$倍である。