半径が $a+b$ の半円から、半径が $a$ の半円と半径が $b$ の半円を取り除いた斜線部分の面積 $S$ を、$a$ と $b$ を用いて表す。次に、$S = S_1$ のとき、$a:b$ を最も簡単な整数の比で表す。ただし、$S_1$ は半径 $a$ の半円の面積である。

1. 問題の内容

半径が $a+b$ の半円から、半径が $a$ の半円と半径が $b$ の半円を取り除いた斜線部分の面積 $S$ を、$a$ と $b$ を用いて表す。次に、$S = S_1$ のとき、$a:b$ を最も簡単な整数の比で表す。ただし、$S_1$ は半径 $a$ の半円の面積である。

2. 解き方の手順

(2)

まず、半径が $a+b$ の半円の面積を求める。半円の面積は、半径の2乗に円周率 $\pi$ をかけ、それを2で割ることで求められる。したがって、半径 $a+b$ の半円の面積は、

$$\frac{1}{2}\pi (a+b)^2$$

次に、半径 $a$ の半円の面積は、

$$\frac{1}{2}\pi a^2$$

半径 $b$ の半円の面積は、

$$\frac{1}{2}\pi b^2$$

斜線部分の面積 $S$ は、半径 $a+b$ の半円から、半径 $a$ の半円と半径 $b$ の半円の面積を引いたものなので、

$$S = \frac{1}{2}\pi (a+b)^2 - \frac{1}{2}\pi a^2 - \frac{1}{2}\pi b^2$$

これを展開して整理すると、

$$S = \frac{1}{2}\pi (a^2 + 2ab + b^2) - \frac{1}{2}\pi a^2 - \frac{1}{2}\pi b^2$$

$$S = \frac{1}{2}\pi a^2 + \pi ab + \frac{1}{2}\pi b^2 - \frac{1}{2}\pi a^2 - \frac{1}{2}\pi b^2$$

$$S = \pi ab$$

(3)

$S = S_1$ のとき、$S = \pi ab$ で、$S_1 = \frac{1}{2}\pi a^2$ なので、

$$\pi ab = \frac{1}{2}\pi a^2$$

$\pi a$ で両辺を割ると ($a \neq 0$ なので割ってよい)、

$$b = \frac{1}{2}a$$

したがって、$a = 2b$ となるので、$a:b = 2:1$

3. 最終的な答え

(2) $S = \pi ab$

(3) $a:b = 2:1$