円 $x^2 + 2x + y^2 = 1$ と直線 $y = mx - m$ が異なる2点で交わるような、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

円 $x^2 + 2x + y^2 = 1$ と直線 $y = mx - m$ が異なる2点で交わるような、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、円の式を平方完成して、円の中心と半径を求めます。

$x^2 + 2x + y^2 = 1$

$(x+1)^2 - 1 + y^2 = 1$

$(x+1)^2 + y^2 = 2$

したがって、円の中心は $(-1, 0)$、半径は $\sqrt{2}$ です。

次に、円と直線が異なる2点で交わるための条件を考えます。これは、円の中心と直線の距離が円の半径より小さいことです。

円の中心 $(-1, 0)$ と直線 $y = mx - m$ 、すなわち $mx - y - m = 0$ の距離 $d$ は、次の式で求められます。

$d = \frac{|m(-1) - 0 - m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{2|m|}{\sqrt{m^2 + 1}}$

円と直線が異なる2点で交わる条件は、$d < \sqrt{2}$ なので、

$\frac{2|m|}{\sqrt{m^2 + 1}} < \sqrt{2}$

両辺を2乗して、

$\frac{4m^2}{m^2 + 1} < 2$

$4m^2 < 2(m^2 + 1)$

$4m^2 < 2m^2 + 2$

$2m^2 < 2$

$m^2 < 1$

$-1 < m < 1$

3. 最終的な答え

$-1 < m < 1$