円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = -x + k$ が異なる2点で交わるとき、定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = -x + k$ が異なる2点で交わるとき、定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

円 $x^2 + y^2 = 4$ の中心は $(0, 0)$ であり、半径は $\sqrt{4} = 2$ である。

直線 $y = -x + k$ は $x + y - k = 0$ と変形できる。

円の中心 $(0, 0)$ と直線 $x + y - k = 0$ の距離 $d$ は、点と直線の距離の公式より、

$d = \frac{|0 + 0 - k|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-k|}{\sqrt{2}} = \frac{|k|}{\sqrt{2}}$

円と直線が異なる2点で交わるためには、円の中心と直線の距離 $d$ が円の半径 $r = 2$ より小さくなければならない。

すなわち、$d < r$ であるから、

$\frac{|k|}{\sqrt{2}} < 2$

$|k| < 2\sqrt{2}$

$-2\sqrt{2} < k < 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$-2\sqrt{2} < k < 2\sqrt{2}$