円 $x^2 + 2x + y^2 = 1$ と直線 $y = mx - m$ が異なる2点で交わるような定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

円 $x^2 + 2x + y^2 = 1$ と直線 $y = mx - m$ が異なる2点で交わるような定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、円の方程式を標準形に変形します。

$x^2 + 2x + y^2 = 1$

$(x^2 + 2x + 1) + y^2 = 1 + 1$

$(x + 1)^2 + y^2 = 2$

これは中心が $(-1, 0)$ 、半径が $\sqrt{2}$ の円を表します。

直線 $y = mx - m$ を $m(x - 1)$ と書き換えると、$m$ の値に関わらず点 $(1, 0)$ を通ることがわかります。

円と直線が異なる2点で交わる条件は、円の中心と直線の距離が半径より小さいことです。

円の中心 $(-1, 0)$ と直線 $y = mx - m$ すなわち $mx - y - m = 0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|m(-1) - 0 - m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{2|m|}{\sqrt{m^2 + 1}}$

円と直線が異なる2点で交わる条件は $d < \sqrt{2}$ であるから、

$\frac{2|m|}{\sqrt{m^2 + 1}} < \sqrt{2}$

両辺を2乗すると、

$\frac{4m^2}{m^2 + 1} < 2$

$4m^2 < 2(m^2 + 1)$

$4m^2 < 2m^2 + 2$

$2m^2 < 2$

$m^2 < 1$

$-1 < m < 1$

3. 最終的な答え

$-1 < m < 1$