与えられた点の座標に基づいて、以下の点の座標を求めます。 (1) 2点A(2, 3), B(8, 9)を結ぶ線分ABを2:1に内分する点 (2) 2点A(1, 4), B(7, -5)を結ぶ線分ABを3:2に外分する点 (3) 2点A(4, 8), B(6, 12)を結ぶ線分ABの中点M (4) A(3, 2), B(5, 7), C(-2, -3)を頂点とする△ABCの重心

1. 問題の内容

与えられた点の座標に基づいて、以下の点の座標を求めます。

(1) 2点A(2, 3), B(8, 9)を結ぶ線分ABを2:1に内分する点

(2) 2点A(1, 4), B(7, -5)を結ぶ線分ABを3:2に外分する点

(3) 2点A(4, 8), B(6, 12)を結ぶ線分ABの中点M

(4) A(3, 2), B(5, 7), C(-2, -3)を頂点とする△ABCの重心

2. 解き方の手順

(1) 線分ABをm:nに内分する点の座標は、A(x1, y1), B(x2, y2)とすると、

$(\frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \frac{ny_1 + my_2}{m+n})$で求められる。

今回は、m=2, n=1, A(2, 3), B(8, 9)なので、

$x = \frac{1 \times 2 + 2 \times 8}{2+1} = \frac{2+16}{3} = \frac{18}{3} = 6$

$y = \frac{1 \times 3 + 2 \times 9}{2+1} = \frac{3+18}{3} = \frac{21}{3} = 7$

(2) 線分ABをm:nに外分する点の座標は、A(x1, y1), B(x2, y2)とすると、

$(\frac{-nx_1 + mx_2}{m-n}, \frac{-ny_1 + my_2}{m-n})$で求められる。

今回は、m=3, n=2, A(1, 4), B(7, -5)なので、

$x = \frac{-2 \times 1 + 3 \times 7}{3-2} = \frac{-2+21}{1} = 19$

$y = \frac{-2 \times 4 + 3 \times (-5)}{3-2} = \frac{-8-15}{1} = -23$

(3) 線分ABの中点の座標は、A(x1, y1), B(x2, y2)とすると、

$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$で求められる。

今回は、A(4, 8), B(6, 12)なので、

$x = \frac{4+6}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$y = \frac{8+12}{2} = \frac{20}{2} = 10$

(4) 三角形ABCの重心の座標は、A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)とすると、

$(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$で求められる。

今回は、A(3, 2), B(5, 7), C(-2, -3)なので、

$x = \frac{3+5+(-2)}{3} = \frac{6}{3} = 2$

$y = \frac{2+7+(-3)}{3} = \frac{6}{3} = 2$

3. 最終的な答え

(1) (6, 7)

(2) (19, -23)

(3) (5, 10)

(4) (2, 2)