2点 $A(1, 0)$, $B(6, 0)$ からの距離の比が $2:3$ である点 $P$ の軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

2点 $A(1, 0)$, $B(6, 0)$ からの距離の比が $2:3$ である点 $P$ の軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とする。$AP:BP = 2:3$ より、$3AP = 2BP$。

$AP = \sqrt{(x-1)^2 + y^2}$, $BP = \sqrt{(x-6)^2 + y^2}$ であるから、

$3\sqrt{(x-1)^2 + y^2} = 2\sqrt{(x-6)^2 + y^2}$.

両辺を2乗すると、

$9((x-1)^2 + y^2) = 4((x-6)^2 + y^2)$

$9(x^2 - 2x + 1 + y^2) = 4(x^2 - 12x + 36 + y^2)$

$9x^2 - 18x + 9 + 9y^2 = 4x^2 - 48x + 144 + 4y^2$

$5x^2 + 30x + 5y^2 = 135$

$x^2 + 6x + y^2 = 27$

$(x+3)^2 - 9 + y^2 = 27$

$(x+3)^2 + y^2 = 36$

$(x+3)^2 + y^2 = 6^2$

よって、点 $P$ の軌跡は、中心 $(-3, 0)$、半径 $6$ の円である。

3. 最終的な答え

中心 $(-3, 0)$, 半径 $6$ の円