円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = mx - m$ が異なる2点で交わるような $m$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = mx - m$ が異なる2点で交わるような $m$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

円と直線が異なる2点で交わる条件は、円の中心と直線の距離が円の半径より小さいことです。

まず、円の中心の座標と半径を求めます。円の方程式 $x^2 + y^2 = 1$ より、中心は $(0, 0)$、半径は1です。

次に、円の中心 $(0, 0)$ と直線 $y = mx - m$ の距離 $d$ を求めます。

直線の式を一般形に変形すると、$mx - y - m = 0$となります。

点と直線の距離の公式より、

$d = \frac{|m(0) - (0) - m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|-m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{|m|}{\sqrt{m^2 + 1}}$

円と直線が異なる2点で交わる条件は、$d < 1$ なので、

$\frac{|m|}{\sqrt{m^2 + 1}} < 1$

両辺を2乗すると、

$\frac{m^2}{m^2 + 1} < 1$

両辺に$m^2 + 1$をかけると、$m^2 < m^2 + 1$ となります。 ($m^2 + 1$は常に正なので不等号の向きは変わりません。)

これを整理すると、 $0 < 1$ となります。これは常に成り立つ不等式です。

しかし、$\sqrt{m^2 + 1}$ が分母にあるため、 $m$ がどのような値でも $\sqrt{m^2 + 1} \neq 0$ は成り立ちます。よって、すべての $m$ に対して $\frac{|m|}{\sqrt{m^2 + 1}} < 1$ が成り立つわけではありません。

$\frac{|m|}{\sqrt{m^2+1}} < 1$ を解くために、再度不等式を考えます。

$\frac{m^2}{m^2+1} < 1$

$m^2 < m^2 + 1$

$0 < 1$

これは常に成立します。

ただし、元の式は $\frac{|m|}{\sqrt{m^2+1}} < 1$ であり、平方根の中身が正である必要があります。これは常に成り立つので、すべて実数 $m$ が解となります。

3. 最終的な答え

すべての実数