四面体OABCにおいて、辺ABの中点をP、線分PCを2:1に内分する点をQとする。また、辺OAを3:2に内分する点をD、辺OBを2:1に内分する点をE、辺OCを1:2に内分する点をFとする。平面DEFと線分OQの交点をRとするとき、以下の問いに答えよ。 (1) $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$とするとき、$\vec{OQ}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$で表わせ。 (2) OR: OQを求めよ。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、辺ABの中点をP、線分PCを2:1に内分する点をQとする。また、辺OAを3:2に内分する点をD、辺OBを2:1に内分する点をE、辺OCを1:2に内分する点をFとする。平面DEFと線分OQの交点をRとするとき、以下の問いに答えよ。

(1) $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$とするとき、$\vec{OQ}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$で表わせ。

(2) OR: OQを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\vec{OP}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$で表します。PはABの中点なので、

$\vec{OP} = \frac{1}{2} (\vec{OA} + \vec{OB}) = \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$

次に、$\vec{OQ}$を$\vec{OP}$と$\vec{OC}$で表します。QはPCを2:1に内分するので、

$\vec{OQ} = \frac{1}{3} (1 * \vec{OP} + 2 * \vec{OC}) = \frac{1}{3} (\vec{OP} + 2\vec{OC})$

$\vec{OP}$を代入して、

$\vec{OQ} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + 2\vec{c}) = \frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$

(2) Rは平面DEF上にあるので、ある実数s, t, uを用いて$\vec{OR} = s\vec{OD} + t\vec{OE} + u\vec{OF}$と表せます。ただし、$s+t+u=1$を満たします。

$\vec{OD} = \frac{3}{5}\vec{a}$, $\vec{OE} = \frac{2}{3}\vec{b}$, $\vec{OF} = \frac{1}{3}\vec{c}$なので、

$\vec{OR} = \frac{3}{5}s\vec{a} + \frac{2}{3}t\vec{b} + \frac{1}{3}u\vec{c}$

また、Rは線分OQ上にあるので、ある実数kを用いて$\vec{OR} = k\vec{OQ}$と表せます。

$\vec{OR} = k(\frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}) = \frac{k}{6}\vec{a} + \frac{k}{6}\vec{b} + \frac{2k}{3}\vec{c}$

したがって、

$\frac{3}{5}s = \frac{k}{6}$, $\frac{2}{3}t = \frac{k}{6}$, $\frac{1}{3}u = \frac{2k}{3}$

$s = \frac{5k}{18}$, $t = \frac{k}{4}$, $u = 2k$

$s+t+u=1$より、$\frac{5k}{18} + \frac{k}{4} + 2k = 1$

$\frac{10k + 9k + 72k}{36} = 1$

$91k = 36$

$k = \frac{36}{91}$

$\vec{OR} = \frac{36}{91} \vec{OQ}$なので、$OR:OQ = 36:91$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OQ} = \frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$

(2) $OR:OQ = 36:91$