複素数平面上の3点 $\alpha = 1+i$, $\beta = 3+2i$, $\gamma$ が正三角形の頂点となるような $\gamma$ を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数平面上の3点 $\alpha = 1+i$, $\beta = 3+2i$, $\gamma$ が正三角形の頂点となるような $\gamma$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

正三角形の頂点となる複素数 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ は、$\beta - \alpha$ を $\frac{\pi}{3}$ または $-\frac{\pi}{3}$ 回転させると $\gamma - \alpha$ に一致するという性質を利用します。つまり、

$\gamma - \alpha = (\beta - \alpha) (\cos(\pm \frac{\pi}{3}) + i \sin(\pm \frac{\pi}{3}))$

が成り立ちます。

$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$、$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$、$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

1. $\gamma - \alpha = (\beta - \alpha) (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2})$ の場合：

$\beta - \alpha = (3+2i) - (1+i) = 2+i$

$\gamma - (1+i) = (2+i) (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + i\sqrt{3} + \frac{i}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = (1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) + i(\sqrt{3} + \frac{1}{2})$

$\gamma = (1 - \frac{\sqrt{3}}{2} + 1) + i(\sqrt{3} + \frac{1}{2} + 1) = (2 - \frac{\sqrt{3}}{2}) + i(\frac{3}{2} + \sqrt{3})$

2. $\gamma - \alpha = (\beta - \alpha) (\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2})$ の場合：

$\gamma - (1+i) = (2+i) (\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 - i\sqrt{3} + \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = (1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) + i(\frac{1}{2} - \sqrt{3})$

$\gamma = (1 + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1) + i(\frac{1}{2} - \sqrt{3} + 1) = (2 + \frac{\sqrt{3}}{2}) + i(\frac{3}{2} - \sqrt{3})$

3. 最終的な答え

$\gamma = (2 - \frac{\sqrt{3}}{2}) + i(\frac{3}{2} + \sqrt{3})$ または $\gamma = (2 + \frac{\sqrt{3}}{2}) + i(\frac{3}{2} - \sqrt{3})$