座標空間内の3点A(2, -2, 1), B(4, -1, -1), C(3, 3, 0)が与えられています。 (1) $|OA|$, $|OB|$, $OA \cdot OB$を求めよ。 (2) $\angle AOB$を求めよ。$\triangle OAB$の面積を求めよ。 (3) 点Dは平面OAB上にあり、$OD = sOA + tOB$と表される。直線CDが平面OABと垂直となるときのs, tを求めよ。 (4) そのときのDの座標を求めよ。 (5) 四面体OABCの体積を求めよ。

1. 問題の内容

座標空間内の3点A(2, -2, 1), B(4, -1, -1), C(3, 3, 0)が与えられています。

(1) $|OA|$, $|OB|$, $OA \cdot OB$を求めよ。

(2) $\angle AOB$を求めよ。$\triangle OAB$の面積を求めよ。

(3) 点Dは平面OAB上にあり、$OD = sOA + tOB$と表される。直線CDが平面OABと垂直となるときのs, tを求めよ。

(4) そのときのDの座標を求めよ。

(5) 四面体OABCの体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $|OA|$、 $|OB|$、 $OA \cdot OB$を求める。

$OA = (2, -2, 1)$, $OB = (4, -1, -1)$

$|OA| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$

$|OB| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$OA \cdot OB = (2)(4) + (-2)(-1) + (1)(-1) = 8 + 2 - 1 = 9$

(2) $\angle AOB$を求める。

$OA \cdot OB = |OA||OB| \cos \angle AOB$

$9 = 3 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos \angle AOB$

$\cos \angle AOB = \frac{9}{9\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\angle AOB = 45^{\circ}$

$\triangle OAB$の面積を求める。

$\triangle OAB = \frac{1}{2}|OA||OB|\sin \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sin 45^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot 9\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$

(3) $OD = sOA + tOB$で、$CD \perp 平面OAB$のときを考える。

$CD = OD - OC = sOA + tOB - OC = (2s+4t-3, -2s-t-3, s-t-0)$

$CD \perp OA$より、$CD \cdot OA = 0$

$(2s+4t-3)(2) + (-2s-t-3)(-2) + (s-t)(1) = 0$

$4s+8t-6+4s+2t+6+s-t=0$

$9s+9t=0$

$s+t=0$

$s = -t$

$CD \perp OB$より、$CD \cdot OB = 0$

$(2s+4t-3)(4) + (-2s-t-3)(-1) + (s-t)(-1) = 0$

$8s+16t-12 + 2s+t+3 - s+t = 0$

$9s+18t-9=0$

$s+2t-1=0$

$s+2t=1$

$s=-t$を代入

$-t+2t = 1$

$t=1$

$s=-1$

(4) Dの座標を求める。

$OD = -1(2, -2, 1) + 1(4, -1, -1) = (-2, 2, -1) + (4, -1, -1) = (2, 1, -2)$

(5) 四面体OABCの体積を求める。

$CD = OD - OC = (2, 1, -2) - (3, 3, 0) = (-1, -2, -2)$

$|CD| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$

四面体OABCの体積 = $\frac{1}{3} \cdot (\triangle OABの面積) \cdot |CD| = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{2} \cdot 3 = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

ア = 3

イ = 3

ウ = 2

エ = 9

オカ = 45

キ = 9

ク = 2

ケコ = -1

サ = 1

シ = 2

ス = 1

セソ = -2

タ = 9

チ = 2