問題文は、楕円 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ と直線 $y=-\frac{1}{2}x+k$ が異なる2点P, Qで交わるときの、$k$ のとり得る値の範囲を求める問題です。さらに、その範囲で $k$ が動くとき、線分PQの中点Mの軌跡を求める問題です。

1. 問題の内容

問題文は、楕円 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ と直線 $y=-\frac{1}{2}x+k$ が異なる2点P, Qで交わるときの、$k$ のとり得る値の範囲を求める問題です。さらに、その範囲で $k$ が動くとき、線分PQの中点Mの軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

(ア) 楕円と直線が異なる2点で交わる条件を求めます。

楕円の式に直線の式を代入すると、

$\frac{x^2}{4} + (-\frac{1}{2}x+k)^2 = 1$

$\frac{x^2}{4} + \frac{1}{4}x^2 -kx + k^2 = 1$

$\frac{1}{2}x^2 - kx + k^2-1 = 0$

$x^2 - 2kx + 2(k^2-1) = 0$

この2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D>0$ です。

$D = (-2k)^2 - 4(1)(2(k^2-1)) = 4k^2 - 8(k^2-1) = 4k^2 - 8k^2 + 8 = -4k^2 + 8 > 0$

$4k^2 < 8$

$k^2 < 2$

$-\sqrt{2} < k < \sqrt{2}$

したがって、アに入るのは③です。

(イ) 線分PQの中点Mの座標を求めます。

P, Qのx座標をそれぞれ$\alpha, \beta$とすると、Mのx座標は$\frac{\alpha+\beta}{2}$です。

($\alpha, \beta$ は $x^2 - 2kx + 2(k^2-1) = 0$ の解なので、解と係数の関係から $\alpha + \beta = 2k$ となります。)

Mのy座標は$y = -\frac{1}{2}(\frac{\alpha+\beta}{2}) + k = -\frac{1}{4}(\alpha+\beta) + k$

したがって、Mの座標は$(\frac{\alpha+\beta}{2}, -\frac{\alpha+\beta}{4}+k)$と表されます。

イには2, ウには4が入ります。

(エ) $\alpha + \beta = 2k$ より、エに入るのは2です。

(オ) 中点Mの軌跡を求めます。

Mのx座標を$x$とすると、$x = \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{2k}{2} = k$

Mのy座標を$y$とすると、$y = -\frac{\alpha+\beta}{4} + k = -\frac{2k}{4} + k = -\frac{1}{2}k + k = \frac{1}{2}k$

$k=x$なので、$y = \frac{1}{2}x$

したがって、オには1, カには2が入ります。

(キ)

$-\sqrt{2} < k < \sqrt{2}$であり、$x=k$なので、$-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$

キに入るのは③です。

3. 最終的な答え

ア: ③

イ: 2

ウ: 4

エ: 2

オ: 1

カ: 2

キ: ③