円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = -x + k$ が異なる2点で交わるとき、定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = -x + k$ が異なる2点で交わるとき、定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

円と直線が異なる2点で交わる条件は、円の中心と直線の距離 $d$ が、円の半径 $r$ よりも小さいことです。

円 $x^2 + y^2 = 4$ の中心は $(0, 0)$、半径は $r = \sqrt{4} = 2$ です。

直線 $y = -x + k$ は $x + y - k = 0$ と書き換えられます。

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、

$$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

で求められます。

円の中心 $(0, 0)$ と直線 $x + y - k = 0$ の距離 $d$ は、

$$d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - k|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-k|}{\sqrt{2}} = \frac{|k|}{\sqrt{2}}$$

です。

円と直線が異なる2点で交わる条件は $d < r$ なので、

$$\frac{|k|}{\sqrt{2}} < 2$$

$$|k| < 2\sqrt{2}$$

$$-2\sqrt{2} < k < 2\sqrt{2}$$

3. 最終的な答え

$-2\sqrt{2} < k < 2\sqrt{2}$