点$(3, 1)$から円 $x^2 + y^2 = 5$ に引いた接線で、傾きが正であるものの方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

点$(3, 1)$から円 $x^2 + y^2 = 5$ に引いた接線で、傾きが正であるものの方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

1. 接線を $y = m(x-3) + 1$ とおく。これは点$(3, 1)$を通る直線の式です。

2. 円の中心$(0, 0)$と接線の距離が円の半径$\sqrt{5}$に等しいという条件を使います。

直線の方程式を変形して、$mx - y - 3m + 1 = 0$ とします。

3. 点と直線の距離の公式を使って、

$$\frac{|m(0) - (0) - 3m + 1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \sqrt{5}$$

$$\frac{|-3m + 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{5}$$

両辺を2乗して、

$$\frac{(-3m + 1)^2}{m^2 + 1} = 5$$

$$(9m^2 - 6m + 1) = 5(m^2 + 1)$$

$$9m^2 - 6m + 1 = 5m^2 + 5$$

$$4m^2 - 6m - 4 = 0$$

$$2m^2 - 3m - 2 = 0$$

$$(2m + 1)(m - 2) = 0$$

$$m = -\frac{1}{2}, 2$$

4. 傾きが正であるものを求めるので、$m = 2$ となります。

5. 接線の方程式は $y = 2(x - 3) + 1$

$y = 2x - 6 + 1$

$y = 2x - 5$

3. 最終的な答え

$y = 2x - 5$