以下の3つの問題を解きます。 (1) 2点 A(2, 3), B(8, 9) を結ぶ線分 AB を 2:1 に内分する点を求めます。 (2) 2点 A(1, 4), B(7, -5) を結ぶ線分 AB を 3:2 に外分する点を求めます。 (3) 2点 A(4, 8), B(6, 12) を結ぶ線分 AB の中点 M を求めます。

1. 問題の内容

以下の3つの問題を解きます。

(1) 2点 A(2, 3), B(8, 9) を結ぶ線分 AB を 2:1 に内分する点を求めます。

(2) 2点 A(1, 4), B(7, -5) を結ぶ線分 AB を 3:2 に外分する点を求めます。

(3) 2点 A(4, 8), B(6, 12) を結ぶ線分 AB の中点 M を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 線分 AB を m:n に内分する点の座標は、A($x_1$, $y_1$), B($x_2$, $y_2$) とすると、以下の式で求められます。

$\qquad (\frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \frac{ny_1 + my_2}{m+n})$

この問題では、A(2, 3), B(8, 9) であり、m = 2, n = 1 なので、

$\qquad (\frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 8}{2+1}, \frac{1 \cdot 3 + 2 \cdot 9}{2+1}) = (\frac{2 + 16}{3}, \frac{3 + 18}{3}) = (\frac{18}{3}, \frac{21}{3}) = (6, 7)$

(2) 線分 AB を m:n に外分する点の座標は、A($x_1$, $y_1$), B($x_2$, $y_2$) とすると、以下の式で求められます。

$\qquad (\frac{-nx_1 + mx_2}{m-n}, \frac{-ny_1 + my_2}{m-n})$

この問題では、A(1, 4), B(7, -5) であり、m = 3, n = 2 なので、

$\qquad (\frac{-2 \cdot 1 + 3 \cdot 7}{3-2}, \frac{-2 \cdot 4 + 3 \cdot (-5)}{3-2}) = (\frac{-2 + 21}{1}, \frac{-8 - 15}{1}) = (\frac{19}{1}, \frac{-23}{1}) = (19, -23)$

(3) 線分 AB の中点の座標は、A($x_1$, $y_1$), B($x_2$, $y_2$) とすると、以下の式で求められます。

$\qquad (\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$

この問題では、A(4, 8), B(6, 12) なので、

$\qquad (\frac{4 + 6}{2}, \frac{8 + 12}{2}) = (\frac{10}{2}, \frac{20}{2}) = (5, 10)$

3. 最終的な答え

(1) (6, 7)

(2) (19, -23)

(3) (5, 10)