三角形ABCにおいて、辺BCの中点をMとし、線分AM上にAP:PM = 3:1となる点Pをとる。Pを通り、三角形ABCの各辺に平行な直線を引く。三角形ABCの各辺との交点を図のように定めるとき、三角形ABCの面積が320cm²であるとき、図の斜線部分の面積の和を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BCの中点をMとし、線分AM上にAP:PM = 3:1となる点Pをとる。Pを通り、三角形ABCの各辺に平行な直線を引く。三角形ABCの各辺との交点を図のように定めるとき、三角形ABCの面積が320cm²であるとき、図の斜線部分の面積の和を求める。

2. 解き方の手順

まず、相似な三角形の相似比と面積比の関係を利用する。

線分AMは中線なので、三角形ABMと三角形ACMの面積は等しく、それぞれ$320/2 = 160 cm^2$である。

三角形APJと三角形AMCは相似である。相似比はAP:AM = 3:4なので、面積比は$(3/4)^2 = 9/16$となる。

したがって、三角形APJの面積は$160 \times (9/16) = 90 cm^2$。

三角形PEBと三角形AMBも相似である。PM:AM = 1:4なので、PE = (1/4) ABとなる。

また、三角形PEBの高さは、三角形ABMの高さの(1/4)となる。

したがって、三角形PEBの面積は$160 \times (1/4)^2 = 160 \times (1/16) = 10 cm^2$。

同様に、三角形PHCと三角形AMCも相似である。

三角形PHCの面積も$10 cm^2$。

三角形PFMと三角形ABMも相似である。

PF = (1/4)AB となるので、三角形PFMの面積は$10 cm^2$。

斜線部分の面積は、三角形APJ, 三角形PEB, 三角形PHCを足した面積である。

斜線部分の面積の和は $90 + 10 + 10 = 110 cm^2$。

3. 最終的な答え

110 cm²