$\triangle ABC$ において、辺 $BC$ の中点を $M$ とし、線分 $AM$ 上に $AP:PM = 3:1$ となる点 $P$ をとる。$P$ を通り $\triangle ABC$ の各辺に平行な直線を引く。$\triangle ABC$ の各辺との交点を図のように定める。$\triangle ABC$ の面積が $320 \text{ cm}^2$ であるとき、図の斜線部分の面積の和を求める。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、辺 $BC$ の中点を $M$ とし、線分 $AM$ 上に $AP:PM = 3:1$ となる点 $P$ をとる。$P$ を通り $\triangle ABC$ の各辺に平行な直線を引く。$\triangle ABC$ の各辺との交点を図のように定める。$\triangle ABC$ の面積が $320 \text{ cm}^2$ であるとき、図の斜線部分の面積の和を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABC$ と $\triangle DPI$ が相似であることに着目する。

$AP:AM = 3:4$ であるから、相似比は $3:4$ である。

よって、$\triangle DPI$ の面積は $\triangle ABC$ の面積の $(3/4)^2 = 9/16$ 倍である。

次に、$\triangle ABC$ と $\triangle EBH$ が相似であることに着目する。

$AM$ は中線であるから、$AM$ は $\triangle ABC$ を面積が等しい二つの三角形に分割する。つまり、$\triangle ABM = \triangle ACM = (1/2) \triangle ABC$ である。

$BE \parallel AC$, $CH \parallel AB$ より、$EBH$ は $\triangle ABC$ と相似。

$BF = MG = MC$ であるから、$BM = MC$ である。

$EF = \frac{1}{2}BC$より、$EH = \frac{1}{4}BC$である。

$AP:PM = 3:1$ であるから、$EF = \frac{1}{4}BC$ である。

$\triangle ABC \sim \triangle EBH$ であり、$EBH$ の高さは $\frac{1}{4} AM$ となる。従って相似比は $1:4$ となる。

よって、$\triangle EBH$ の面積は $\triangle ABC$ の面積の $(1/4)^2 = 1/16$ 倍である。

同様に、$\triangle ABC \sim \triangle FGC$ であり、$GC = \frac{1}{4}BC$ であるから、$\triangle FGC$ の面積も $\triangle ABC$ の面積の $1/16$ 倍である。

求める斜線部分の面積の和は、$\triangle DPI + \triangle EBH + \triangle FGC = \frac{9}{16} \triangle ABC + \frac{1}{16} \triangle ABC + \frac{1}{16} \triangle ABC = \frac{11}{16} \triangle ABC$

$\triangle ABC$ の面積が $320 \text{ cm}^2$ であるから、求める斜線部分の面積の和は

$\frac{11}{16} \times 320 = 11 \times 20 = 220 \text{ cm}^2$

3. 最終的な答え

$220 \text{ cm}^2$