$\triangle ABC$は$AB=6cm$, $AC=4cm$, $\angle A = 90^\circ$の直角三角形である。$\angle A$の二等分線と辺$BC$の交点を$D$とするとき、$\triangle ADC$の面積を求める。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$は$AB=6cm$, $AC=4cm$, $\angle A = 90^\circ$の直角三角形である。$\angle A$の二等分線と辺$BC$の交点を$D$とするとき、$\triangle ADC$の面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、$BC$の長さを求める。$\triangle ABC$は直角三角形なので、三平方の定理より、

$BC^2 = AB^2 + AC^2$

$BC^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52$

$BC = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

次に、$\triangle ABC$の面積を求める。

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$

次に、$AD$は$\angle A$の二等分線なので、角の二等分線の性質より、

$BD:DC = AB:AC = 6:4 = 3:2$

したがって、$DC = \frac{2}{3+2} BC = \frac{2}{5} BC = \frac{2}{5} \times 2\sqrt{13} = \frac{4\sqrt{13}}{5}$

$\triangle ADC$の面積は、$\triangle ABC$の面積に$DC/BC$をかければ求まる。

$\triangle ADC = \frac{DC}{BC} \times \triangle ABC = \frac{2/5 BC}{BC} \times 12 = \frac{2}{5} \times 12 = \frac{24}{5} = 4.8$

3. 最終的な答え

$\triangle ADC$の面積は$4.8 cm^2$