$\overrightarrow{AB} = (1, 2, -1)$、$\overrightarrow{AC} = (-2, 1, -1)$ を満たす$\triangle ABC$の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

$\overrightarrow{AB} = (1, 2, -1)$、$\overrightarrow{AC} = (-2, 1, -1)$ を満たす$\triangle ABC$の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\triangle ABC$ の面積は、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の外積の大きさの半分で求められます。

まず、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の外積 $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ を計算します。

$$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2 \times -1) - (-1 \times 1) \\ (-1 \times -2) - (1 \times -1) \\ (1 \times 1) - (2 \times -2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 + 1 \\ 2 + 1 \\ 1 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}$$

次に、外積の大きさ $|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$ を計算します。

$$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 9 + 25} = \sqrt{35}$$

$\triangle ABC$ の面積は、外積の大きさの半分であるため、$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$ で求められます。

$$\triangle ABC = \frac{1}{2} \sqrt{35} = \frac{\sqrt{35}}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{35}}{2}$