三角形ABCにおいて、AB = 3, AC = 2であり、$PA + 2PB + 3PC = AB$を満たす点Pをとるとき、$AP \perp BC$となる。このとき、辺BCの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB = 3, AC = 2であり、$PA + 2PB + 3PC = AB$を満たす点Pをとるとき、$AP \perp BC$となる。このとき、辺BCの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

ベクトルに関する問題なので、始点をAに統一して考える。

まず、$PA + 2PB + 3PC = AB$を始点Aで書き換える。

$PA = -AP$

$PB = AB - AP$

$PC = AC - AP$

なので、

$-AP + 2(AB - AP) + 3(AC - AP) = AB$

$-AP + 2AB - 2AP + 3AC - 3AP = AB$

$-6AP = -AB - 3AC$

$6AP = AB + 3AC$

$AP = \frac{1}{6}AB + \frac{3}{6}AC$

$AP = \frac{1}{6}AB + \frac{1}{2}AC$

次に、$AP \perp BC$という条件を考える。

$AP \cdot BC = 0$

$BC = AC - AB$であるから、

$AP \cdot (AC - AB) = 0$

$(\frac{1}{6}AB + \frac{1}{2}AC) \cdot (AC - AB) = 0$

$\frac{1}{6}AB \cdot AC - \frac{1}{6}|AB|^2 + \frac{1}{2}|AC|^2 - \frac{1}{2}AC \cdot AB = 0$

$\frac{1}{6}AB \cdot AC - \frac{1}{6}(3^2) + \frac{1}{2}(2^2) - \frac{1}{2}AC \cdot AB = 0$

$\frac{1}{6}AB \cdot AC - \frac{9}{6} + \frac{4}{2} - \frac{1}{2}AC \cdot AB = 0$

$\frac{1}{6}AB \cdot AC - \frac{3}{2} + 2 - \frac{1}{2}AC \cdot AB = 0$

$\frac{1}{6}AB \cdot AC - \frac{3}{2} + \frac{4}{2} - \frac{3}{6}AC \cdot AB = 0$

$-\frac{2}{6}AB \cdot AC + \frac{1}{2} = 0$

$-\frac{1}{3}AB \cdot AC + \frac{1}{2} = 0$

$AB \cdot AC = \frac{3}{2}$

$|AB||AC|cos\angle BAC = \frac{3}{2}$

$3 \cdot 2 \cdot cos\angle BAC = \frac{3}{2}$

$cos\angle BAC = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{4}$

余弦定理より、

$|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 - 2|AB||AC|cos\angle BAC$

$|BC|^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{4}$

$|BC|^2 = 9 + 4 - 3 = 10$

$|BC| = \sqrt{10}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{10}$