平行四辺形ABCDにおいて、辺CDの中点をPとし、APと対角線BDの交点をQとします。$\vec{AB}=\vec{a}$, $\vec{AD}=\vec{b}$とし、$|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=2$, $\angle DAB = 120^\circ$ であるとき、$|\vec{AQ}|$を求めます。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺CDの中点をPとし、APと対角線BDの交点をQとします。$\vec{AB}=\vec{a}$, $\vec{AD}=\vec{b}$とし、$|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=2$, $\angle DAB = 120^\circ$ であるとき、$|\vec{AQ}|$を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{AP}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$で表します。PはCDの中点なので、$\vec{DP} = \frac{1}{2}\vec{DC} = \frac{1}{2}\vec{a}$。したがって、

$\vec{AP} = \vec{AD} + \vec{DP} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a}$

次に、QはAP上にあるので、ある実数$s$を用いて

$\vec{AQ} = s\vec{AP} = s(\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a}) = \frac{s}{2}\vec{a} + s\vec{b}$

また、QはBD上にあるので、ある実数$t$を用いて

$\vec{AQ} = (1-t)\vec{AB} + t\vec{AD} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$

上記の2つの$\vec{AQ}$の表現を比較すると、

$\frac{s}{2} = 1-t$

$s = t$

これを解くと、

$\frac{s}{2} = 1-s$

$\frac{3}{2}s = 1$

$s = \frac{2}{3}$

$t = \frac{2}{3}$

したがって、

$\vec{AQ} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$

$|\vec{AQ}|^2 = (\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b})^2 = \frac{1}{9}|\vec{a}|^2 + \frac{4}{9}|\vec{b}|^2 + \frac{4}{9}\vec{a}\cdot\vec{b}$

$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{120^\circ} = 1\cdot2\cdot(-\frac{1}{2}) = -1$

$|\vec{AQ}|^2 = \frac{1}{9}(1)^2 + \frac{4}{9}(2)^2 + \frac{4}{9}(-1) = \frac{1}{9} + \frac{16}{9} - \frac{4}{9} = \frac{13}{9}$

$|\vec{AQ}| = \sqrt{\frac{13}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{13}}{3}$