一辺が4の立方体ABCD-EFGHにおいて、辺AD, CD, CGの中点をそれぞれL, M, Nとする。$\angle BLG = \theta$ のとき、$\cos \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

一辺が4の立方体ABCD-EFGHにおいて、辺AD, CD, CGの中点をそれぞれL, M, Nとする。$\angle BLG = \theta$ のとき、$\cos \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、座標を設定します。点Bを原点(0, 0, 0)とし、点Aを(4, 0, 0)、点Cを(0, 4, 0)、点Hを(0, 0, 4)とします。このとき、各点の座標は以下のようになります。

A(4, 0, 0)

B(0, 0, 0)

C(0, 4, 0)

D(4, 4, 0)

E(4, 0, 4)

F(0, 0, 4)

G(0, 4, 4)

H(0, 0, 4)

LはADの中点なので、L(4, 2, 0)

NはCGの中点なので、N(0, 4, 2)

$\vec{BL} = (4, 2, 0)$

$\vec{BG} = (0, 4, 4)$

$\vec{BL} \cdot \vec{BG} = |\vec{BL}| |\vec{BG}| \cos \theta$

$\vec{BL} \cdot \vec{BG} = (4)(0) + (2)(4) + (0)(4) = 0 + 8 + 0 = 8$

$|\vec{BL}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

$|\vec{BG}| = \sqrt{0^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

$\cos \theta = \frac{\vec{BL} \cdot \vec{BG}}{|\vec{BL}| |\vec{BG}|} = \frac{8}{2\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{8}{8\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{\sqrt{10}}{10}$