正八面体の各面を、辺で隣接する面が同じ色とならないように、赤・青・黄の3色のいずれかで塗る。 (1) 全ての面を区別するとき、塗り方は何通りか。 (2) 回転によって一致する配色を同一視するとき、塗り方は何通りか。

1. 問題の内容

正八面体の各面を、辺で隣接する面が同じ色とならないように、赤・青・黄の3色のいずれかで塗る。

(1) 全ての面を区別するとき、塗り方は何通りか。

(2) 回転によって一致する配色を同一視するとき、塗り方は何通りか。

2. 解き方の手順

(1) 全ての面を区別する場合

まず、一つの面の色を固定する。例えば、上面を赤色で塗る。

隣接する4つの面は、赤色以外の2色（青と黄）で塗る必要がある。

隣接する4面の色は交互に塗るしかない。例えば、青、黄、青、黄の順。このとき、残りの下面は赤色で塗ることができない。

そこで、隣接する4面を $x$色、$y$色、$x$色、$y$色と塗るとき、残りの下面は、$x, y$以外の色で塗る必要がある。

最初に、ある面を赤色で塗る。この塗り方は3通り。

次に、その面に隣接する4面を交互に青と黄で塗る。この塗り方は2通り。

最後に、残りの面は、最初に塗った面と隣接する4面に使われていない色で塗る。この塗り方は1通り。

よって、3色を使う塗り方は、

$3 \times 2 \times 1 = 6$通り

次に、2色を使う塗り方を考える。

ある面を赤色で塗る。この塗り方は3通り。

その面に隣接する4面をすべて青色で塗る。この塗り方は2通り。

残りの面を赤色で塗る。

つまり、$3 \times 2 \times 1 = 6$通り

隣接する面が同じ色にならないように塗るには、すべての面を3色で塗るか、2色で塗るしかない。

3色で塗る場合:

ある面を1色で塗ると、隣接する4面は2色を交互に塗るしかないので、必然的に3色すべてを使う。このとき、残りの面の色は自動的に決まる。例えば、ある面を赤で塗った場合、隣接する4面を青、黄、青、黄と塗ると、残りの面は赤以外の色でなければならないので、自動的に青か黄のどちらかになる。

よって、$3 \times 2 = 6$通り。

2色で塗る場合：

ある面を1色で塗ると、隣接する4面は別の色で塗らなければならないので、必然的に2色使う。このとき、残りの面の色は自動的に決まる。例えば、ある面を赤で塗った場合、隣接する4面をすべて青で塗ると、残りの面は赤で塗るしかなくなる。

よって、$3 \times 2 = 6$通り。

すべての面を区別するとき、塗り方は $3 \times 2 \times 3 \times 2 = 3! \times 3 = 6 \times 3 = 18 \times 2$

正8面体は8個の面があるので、全ての面を区別するとき、考えられる塗り方の総数は、$3 \times 2 \times 3 \times 2 \times 3 \times 2 \times 3 \times 2 = 1296$

しかし、これは隣り合う面の色が異なるという条件を考慮していないので、間違っている。

ある面を赤で塗ったとき、隣接する4面は青と黄を交互に塗るしかなく、残りの面の色は赤以外の色でなければならないので、塗る方法は限られる。

ある面を赤で塗る方法は3通り、隣接する4面を青と黄で交互に塗る方法は2通り、残りの面は赤以外の色にするしかないので1通り。

よって、$3 \times 2 \times 1 = 6$通りしかない。

(2) 回転によって一致する配色を同一視する場合

正八面体の回転対称性は、頂点を通る軸を中心とした回転、辺の中点を通る軸を中心とした回転、面の中心を通る軸を中心とした回転がある。

しかし、(1)で求めた6通りの塗り方はすべて回転しても変わらない塗り方なので、回転によって一致する配色を同一視しても、塗り方は変わらない。

3. 最終的な答え

(1) 6通り

(2) 6通り