$\triangle OAB$において、$|\overrightarrow{OA}|=1$, $|\overrightarrow{OB}|=2$, $|2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}|=2$のとき、$\triangle OAB$の面積$S$を求める。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$において、$|\overrightarrow{OA}|=1$, $|\overrightarrow{OB}|=2$, $|2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}|=2$のとき、$\triangle OAB$の面積$S$を求める。

2. 解き方の手順

まず、$|2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}|=2$ の両辺を2乗する。

$|2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}|^2 = 4$

$(2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB})\cdot(2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}) = 4$

$4|\overrightarrow{OA}|^2 - 4\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} + |\overrightarrow{OB}|^2 = 4$

与えられた条件 $|\overrightarrow{OA}|=1$ と $|\overrightarrow{OB}|=2$ を代入する。

$4(1)^2 - 4\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} + (2)^2 = 4$

$4 - 4\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} + 4 = 4$

$8 - 4\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} = 4$

$-4\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} = -4$

$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} = 1$

ここで、$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} = |\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\cos\theta$ (ただし、$\theta$は$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$のなす角) より、

$1 = 1 \cdot 2 \cdot \cos\theta$

$\cos\theta = \frac{1}{2}$

よって、$\theta = \frac{\pi}{3}$ (60度)

$\triangle OAB$の面積$S$は

$S = \frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\sin\theta$

$S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 \cdot \sin\frac{\pi}{3}$

$S = \sin\frac{\pi}{3}$

$S = \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{3}}{2}$