円 $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 4 = 0$ と直線 $y = x + k$ が共有点を持つような定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 4 = 0$ と直線 $y = x + k$ が共有点を持つような定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、円の方程式を標準形に変形する。

$x^2 + 4x + y^2 - 2y - 4 = 0$

$(x^2 + 4x) + (y^2 - 2y) = 4$

$(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) = 4 + 4 + 1$

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$

よって、円の中心は $(-2, 1)$ で半径は $3$ である。

次に、円と直線が共有点を持つ条件を考える。円の中心と直線の距離が半径以下であれば良い。

円の中心 $(-2, 1)$ と直線 $y = x + k$ すなわち $x - y + k = 0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|(-2) - 1 + k|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|k - 3|}{\sqrt{2}}$

円と直線が共有点を持つ条件は $d \le 3$ であるから、

$\frac{|k - 3|}{\sqrt{2}} \le 3$

$|k - 3| \le 3\sqrt{2}$

$-3\sqrt{2} \le k - 3 \le 3\sqrt{2}$

$3 - 3\sqrt{2} \le k \le 3 + 3\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$3 - 3\sqrt{2} \le k \le 3 + 3\sqrt{2}$