$n$ を自然数とするとき、「$n$ が 3 の倍数ならば $n^2$ も 3 の倍数となる」という命題の逆と裏の真偽を判定し、正しい組み合わせを選ぶ問題です。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とするとき、「$n$ が 3 の倍数ならば $n^2$ も 3 の倍数となる」という命題の逆と裏の真偽を判定し、正しい組み合わせを選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

元の命題を $p \Rightarrow q$ とします。ここで、$p$ は「$n$ が 3 の倍数である」という条件、$q$ は「$n^2$ が 3 の倍数である」という条件です。

* **逆:** $q \Rightarrow p$。つまり、「$n^2$ が 3 の倍数ならば、$n$ は 3 の倍数である」。

$n^2$が3の倍数であるとき、$n$は3の倍数でないと仮定すると、$n$は$3k+1$または$3k+2$（$k$は整数）の形になる。

もし$n = 3k + 1$のとき、$n^2 = (3k+1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$となり、3で割ると1余る。

もし$n = 3k + 2$のとき、$n^2 = (3k+2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$となり、3で割ると1余る。

いずれの場合も、$n^2$ は 3 の倍数にならない。したがって、対偶「$n$が3の倍数でないならば、$n^2$は3の倍数でない」が成り立つ。したがって、逆は真である。

* **裏:** $\neg p \Rightarrow \neg q$。つまり、「$n$ が 3 の倍数でないならば、$n^2$ は 3 の倍数でない」。

この命題は、逆の対偶と同じ内容であるため、真である。

もしくは、上記で、$n=3k+1$または$n=3k+2$のとき、$n^2$は3の倍数にならないことを示したので、裏も真である。

したがって、逆は真であり、裏も真です。

3. 最終的な答え

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