円 $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 4 = 0$ と直線 $y = x + k$ が共有点を持つような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 4 = 0$ と直線 $y = x + k$ が共有点を持つような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、円の方程式を標準形に変形します。

$x^2 + 4x + y^2 - 2y - 4 = 0$

$(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) - 4 - 1 - 4 = 0$

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$

これは、中心が $(-2, 1)$、半径が $3$ の円を表します。

次に、円と直線が共有点を持つ条件を考えます。円の中心から直線までの距離が半径以下であれば、円と直線は共有点を持ちます。

円の中心 $(-2, 1)$ と直線 $y = x + k$ すなわち $x - y + k = 0$ の距離 $d$ は、点と直線の距離の公式を用いて計算できます。

$d = \frac{|(-2) - (1) + k|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|k - 3|}{\sqrt{2}}$

円と直線が共有点を持つためには、$d \le 3$ でなければなりません。

$\frac{|k - 3|}{\sqrt{2}} \le 3$

$|k - 3| \le 3\sqrt{2}$

$-3\sqrt{2} \le k - 3 \le 3\sqrt{2}$

$3 - 3\sqrt{2} \le k \le 3 + 3\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$3 - 3\sqrt{2} \le k \le 3 + 3\sqrt{2}$